[dm] Euler Et Dérivée

[arnaudrou]

Bonjour,

Je cherche un peu d'aide pour mon DM je suis un peu perdu.

Enoncé:

Nous admettrons qu'il existe une fonction f, définie et dérivable sur R, vérifiant :

f(0) = 0 et x R, f'(x)= 1 / (1+x²)

1.Utiliser la méthode d'Euler pour représenter une approximation de f sur [0 ; 5] par une fonction g affine par morceaux sur l'intervalle [0 ; 5] avec le pas 0,1.

--> Pas de soucis avec la formule d'approximation et la calculette

2.a) Montrer que la fonction g : x-->f(x)+f(-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.

b) Calculer g(0). En déduire que la fonction f est impaire.

3. a) Montrer que la fonction h; x--> f(x) + f (1/x) est dérivable sur ]O ;+oo[ et calculer sa dérivée.

b)En déduire qu'il existe une constante c telle que , pour tout x > 0, on ait : f(x) = c - f(1/x) (1).

c)A l'aide de (1), prouver que lime f(x) = c. (quand x tends vers +oo)

4. On considère la fonction u, définie sur ]-/2 : /2[ par u(x) = tan x.

a)Montrer que la fonction : x-->(f o u)(x)-x est dérivable sur ]-/2 : /2[ et calculer sa dérivée.

b)Calculer (0). En déduire que, pour tout x de ]-/2 : /2[ , on a f(tan x) = x.

c) Calculer les valeurs exactes de f(1),f((3)), f(1/(3))ainsi que la valeur exacte de la constante c.

5. a) Etudier le sens de variation de f sur [0 ;+oo[ et dresser le tableau de variations.

b) A l'aide des renseignements précédents, tracer la courbe Cf (préciser les asymptotes et la tangente à l'origine).

Voile qui peut m'aider a faire ces questions, l'un des gros porblèmes et que l'on ne connait pas f(x)...

Merci d'avance

[lisa22]

Nous admettrons qu'il existe une fonction f, définie et dérivable sur R, vérifiant :

f(0) = 0 et x R, f'(x)= 1 / (1+x²)

1.Utiliser la méthode d'Euler pour représenter une approximation de f sur [0 ; 5] par une fonction g affine par morceaux sur l'intervalle [0 ; 5] avec le pas 0,1.

--> Pas de soucis avec la formule d'approximation et la calculette

2.a) Montrer que la fonction g : x-->f(x)+f(-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.

B) Calculer g(0). En déduire que la fonction f est impaire.

[lisa22]

3. a) Montrer que la fonction h; x--> f(x) + f (1/x) est dérivable sur ]O ;+oo[ et calculer sa dérivée.

b)En déduire qu'il existe une constante c telle que , pour tout x > 0, on ait : f(x) = c - f(1/x) (1).

c)A l'aide de (1), prouver que lime f(x) = c. (quand x tends vers +oo)

[arnaudrou]

Bonsoir lisa22,

Merci pour ces explications cependant je ne comprends pas tout, dans la 2) pourquoi qu'en tu fais "g ' ( x ) = f ' ( x ) + ( -1 ) f ' ( - x )" tu peux rajouter comme ca le -1 ?

Même question dans la 3 quand tu fias: "h ' ( x ) = f ' ( x ) + ( 1/x )' f ' ( 1/x ) " Comment tu fais pour rajouter 1/x (et la en plus tu le dérives ?? )?

Comment montrer que c'est impaire vu que ca vaut 0?

3.c) Comment trouver c dans la limite?

Peux tu m'aider pour les question 4) et 5) j'ai essayé de faire la même méthode mais c'est plus compliqué car c'est tan et il des racines...

[lisa22]

Bonsoir lisa22,

Merci pour ces explications cependant je ne comprends pas tout, dans la 2) pourquoi qu'en tu fais "g ' ( x ) = f ' ( x ) + ( -1 ) f ' ( - x )" tu peux rajouter comme ca le -1 ?

Même question dans la 3 quand tu fias: "h ' ( x ) = f ' ( x ) + ( 1/x )' f ' ( 1/x ) " Comment tu fais pour rajouter 1/x (et la en plus tu le dérives ?? )?

Comment montrer que c'est impaire vu que ca vaut 0?

3.c) Comment trouver c dans la limite?

Peux tu m'aider pour les question 4) et 5) j'ai essayé de faire la même méthode mais c'est plus compliqué car c'est tan et il des racines...

[lisa22]

4. On considère la fonction u, définie sur ]-/2 : /2[ par u(x) = tan x.

a)Montrer que la fonction : x-->(f o u)(x)-x est dérivable sur ]-/2 : /2[ et calculer sa dérivée.

b)Calculer (0). En déduire que, pour tout x de ]-/2 : /2[ , on a f(tan x) = x.

c) Calculer les valeurs exactes de f(1),f((3)), f(1/(3))ainsi que la valeur exacte de la constante c.

[lisa22]

5. a) Etudier le sens de variation de f sur [0 ;+oo[ et dresser le tableau de variations.

B) A l'aide des renseignements précédents, tracer la courbe Cf (préciser les asymptotes et la tangente à l'origine).

[arnaudrou]

Merci beaucoup j'ai bien tout compris,

juste uner derniere question pour la courbe a tracer il me demande de préciser les asymptotes et la tangente à l'origine, je qu'une asymptote pour pi/2 Quels sont les autres et la tangente?

Merci beaucoup et merci d'avance

[lisa22]

Merci beaucoup j'ai bien tout compris,

juste uner derniere question pour la courbe a tracer il me demande de préciser les asymptotes et la tangente à l'origine, je qu'une asymptote pour pi/2 Quels sont les autres et la tangente?

Merci beaucoup et merci d'avance