Exo Spé Math : Congruences

[Mattspider]

Bonjour dans le cadre d'un Dm de spé math, j'ai un exo à faire, et j'arrive pas la dernière question, bon déjà je vous met le début de l'exo que j'ai fait et la référence de l'exo si jamais c'est le n°113 p36 du livre appelé hyperbole

1) Vérifier que 111 est divisible par 3

2) soit n € N tel que n 3

u_n est le nombre dont l'écriture décimale est constituée uniquement de 1 :

u_n = 111....1

.......\_____/

.....n chiffres 1

( par exemple, pour 111, n=3 )

a) Démontrer que u_n = ( 10ⁿ - 1 ) / 9

b ) vérifier que pour tous réel a et b : a³-b³ = ( a - b ) (a² + ab + b²)

c) Démontrer que 10³ⁿ-1 est divisible par 10ⁿ-1

d) En déduire que l'entier naturel u_3n est divisible par l'entier naturel u_n

e) Démontrer que 10ⁿ "congrue à" 1 [3]

En déduire que 10²ⁿ + 10ⁿ + 1 est divisible par 3.

f) Démontrer que u_3n est divisible par 3u_n

Et voila la question qui tue que j'arrive pas à faire

3) Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels dont l'écriture décimale est constituée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n

J'ai pensé à un raisonnement par l'absurde mais j'arrive pas à aboutir

merci d'avance à celui qui jettera un coup d'oeil à mon exo

PS: je vais essayer de vous scanner ma copie pour montrer mes résultats si ça peut aider

[elp]

soit un nombre entier n tel que Un=k*n (c'est à dire Un multiple de n)

3Un=3kn

comme U3n est multiple de de 3Un, il existe un nombre entier h tel que U3n=h*3Un

dc U3n=h*3*kn=hk*3n

U3n est dc multiple de 3n

en résumé: si Un est multiple de n alors U3n est multiple de 3n

U3=111 est multiple de 3

dc U3*3=U9 est multiple de 9

U27 est multiple de 27, U81 est multiple de 81 etc...

[jeune lycéen]

tout les chiffres sont divisibles par 1 si ca peut vous aider

[Mattspider]

U27 est multiple de 27, U81 est multiple de 81 etc...

[jeune lycéen]

Ok merci beaucoup

Et cela suffit à montrer que ya une infinité de solution ??

[elp]

Ok merci beaucoup

Et cela suffit à montrer que ya une infinité de solution ??

[Sirilis]

Bonjour

Je voudrais savoir qu'elle a été la méthode afin de démontrer les questions e et f ? Je tourne en rond à ces questions ...

Merci d'avance

[elp]

e)je mets == pour congru

10==1 (3)

10^n==1^n (3) dc 10^n=1 (3)

10^2n=(10^n)² dc 10^2n==(10^n)²==1 (3)

10^2n+10^n+1==1+1+1 (3) dc ==0 (3) dc 10^2n+10^n+1 est divisible par 3

f)

U(n)=(10^n-1)/9

U(3n)=(10^3n-1)/9 on remarque que 10^3n=(10^n)^3 et 1 = 1^3

on utilise a^3-b3=(a-b)(a²+ab+b²)

(10^3n-1)/9=(10^n-1)(10^2n+10^n+1)/9=[(10^n-1)/9]*(10^2n+10^n+1)

U(3n)=U(n)*(10^2n+10^n+1)

(10^2n+10^n+1) est divisible par 3 dc U(3n) est bien divisible par 3 et par U(n) dc par 3U(n)

[Sirilis]

"e)je mets == pour congru

10==1 (3)

10^n==1^n (3) dc 10^n=1 (3)

10^2n=(10^n)² dc 10^2n==(10^n)²==1 (3)

10^2n+10^n+1==1+1+1 (3) dc ==0 (3) dc 10^2n+10^n+1 est divisible par 3"

Merci beaucoup d'avoir répondu, il y a encore pourtant un détails qui m'embête : je ne comprends pas comment (10^2n)²== 1 (3) ? Et comment 1+1+1 (3)==0 (3) ...

Désolée pour toutes mes questions

[elp]

10^n==1 dc le carré de 10^n (qui est 10^2n) est == au carré de 1 donc == à 1

ensuite chacun des 3 termes est congru à 1 donc la somme des 3 termes est == à 1+1+1=3

congru à 3 modulo3 c'est ==0 modulo 3

[Sirilis]

Ok !

Merci beaucoup pour votre aide ^^