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DNS Term S: URGENT!!!


koala006

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je suis en term S et j'arrive pas un exo de mon DNS.merci d'avance de m'aider au plus vite!!!!

voici l'exo:

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; vecteur u ; vecteur v). Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique.

A.Etude d’une fonction f :

On définit une fonction f sur ]0 ;+ infini [ par f(x) = ln ( (racine de 1+x) –1

1)Calculez les limites de f en 0 et en + infini.

2)Etudiez le sens de variation de f sur ]0 ; + infini [.

3)Soit C la courbe représentative de f dans (O ; vecteur u ; vecteur v) et A le point de C d’abscisse 3.

Calculez l’ordonnée de A.

Soit B le point de C d’abscisse 5/4 , P le projeté orthogonal de B sur l’axe (O ; vecteur u) et H le projeté orthogonal de B sur l’axe (O ; vecteur v).

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B,P et H.

Placez les points A, B, P et H dans le repère (O ; vecteur u ; vecteur v) et représentez la courbe C.

B.Utilisation d’une rotation :

Soit r la rotation de centre O et d’angle pi/2. A tout point M du plan d’affixe z, la rotation r associe le point M’ d’affixe z’.

1)a) Donnez z’ en fonction de z.

On note z = x + iy et z’ = x’ + iy’ (x, y, x’ et y’ réels), exprimez x’ et y’ en fonction de x et y, puis exprimez x et y en fonction de x’ et y’.

B) Déterminez les coordonnées des points A’, B’ et P’ images respectives des points A, B et P par la rotation r.

2) On appelle g la fonction définie sur R par g(x) = e ^ (-2x) + 2e ^ (-x) et (T) sa courbe représentative dans le repère (O ; vecteur u ; vecteur v).

a) Montrez que lorsqu’un point M appartient à C, son image M’ par r appartient à (T).

On admet que lorsque le point M décrit C, le point M’ décrit (T).

B) Tracez sur le graphique les points A’, B’ et P’ et la courbe (T).

C.Calcul d’intégrales :

On rappelle que l’image d’un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire.

1)Calculez l’intégrale int (0 ; ln2) g(x) dx . Interprétez graphiquement cette intégrale.

2)a) Déterminez, en unités d’aire, l’aire A du domaine plan D limité par les segments [AO] , [OH] et [HB] et l’arc de courbe C d’extrémité B et A.

B) On pose I = int (5/4 ; 3) f(x) dx.

Trouvez une relation entre A et I puis déduisez-en la valeur exacte de l’intégrale I.

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