[dm Ts] Suite Convergente

[arnaudrou]

Bonjour,

Qui peut m'aider pour un petit détail dans la question 2)B):

On considère la suite de terme général :

Un= n/(n²+1) + n/(n²+2) + ... + n/(n²+n)

1) Parmi les termes de la somme définissant Un, quel est le plus petit? Quel est le plus grand?

pas de soucis la dessus

2)a) En déduire l'encadrement n/(n+1)<* Un <* n²/(n²+1)

c'est bon aussi

B) Démontrer que la suite (Un) est convergente. Préciser sa limite.

--> J'ai bien démontrer que Un est croissante en faisant Un+1-Un = (n+1)/(n+)²+n mais ce qui me pose problème c'est de montrer que la suite est majoré ou minoré de facon a montrer qu'elle est convergente En effet j'avais pensé à le montrer avec l'encadrement qu'on a trouvé mais les termes ne sont pas dépendant de n donc ca ne marche pas...

---> Pour la limite pas de soucias avec le théorème des gendarmes on trouve 1 en +oo.

Merci d'avance pour votre aide

[philippe]

bonjour,

d'après l'encadrement, la limite de Un est donc 1 en +oo.

tu n'as pas besoin d'utiliser le fait qu'une suite croissante majorée converge.

il me semble non?

[arnaudrou]

Le problème ne se situe pas au niveau de la limite, mais le problème est de montrer que la suite est convergente or pour le montrer il y a deux conditions que se soit croissant et que la suite soit minorée ou majorée

[philippe]

l'encadrement et le théorème des gendarmes suffisent pour montrer que (Un) converge.

Puisque la limite existe (elle est unique) pour Un alors (Un) est convergente.

c'est tout!

[arnaudrou]

a ok donc a ne servait à rien que je montre que la suite est croissante...

petite question l'encadrement et le théorème des gendarmes c'est pas la même chose?

[philippe]

non tu t'ennuies pour rien!

un encadrement est...un encadrement.

le théorème des gendarmes dit (rapidement) que:

si Vn<Un<Wn et lim(Vn)=lim(Wn)=L

alors la limite de (Un) existe et vaut L.

si tu as un truc du genre:

n/(n+1)<Un<3n/(n+1)

tu ne peux rien conclure

mais ça reste un encadrement...

voila

[arnaudrou]

Ok merci du coup de main et de cette petite mise au point!