Etude De Fonction.

[kavi]

Partie B) Etude de la fonction f définie sur R par: f(x)= [x/(e^x+1)] + 2. On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (0;i;j).

1. Déterminer la limite de f en + et interpreter graphiquement ce résultat.

2. a) Déterminer la limite de f en - . B)démontrer que la droite (d) d'équation y=x+2 est une asyptote pour Cf. c)Etudier la position de Cf par rapport à (d).

3. a)Montrer que la fonction dérivée de f a même signe que la fonction g étudiée dans la partie A. b)Montrer qu'il existe 2 entiers p et q tels que f(a)=pa+q. c)Dresser le tableau de variation de la fonction f.

Pour la question 1. la limite en + donne une forme indeterminé donc j'ai factorisé par x mais sa me donne toujours une forme indeterminée, d'après la calculatrice je trouve que la limite est 3 donc que c'est une asymptote horizontale mais je n'arrive pas à le trouver manuellement, merci de bien vouloir m'aider svp.

Pour la 2.a) la limite est - d'après la calculatrice, mais j'arrive pas à le trouver à la main.

Pour la question B) f(x)-x+2 = [x/(e^x+1)]-x+2, et je développe c'est sa?

[lisa22]

Partie B) Etude de la fonction f définie sur R par: f(x)= [x/(e^x+1)] + 2. On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (0;i;j).

1. Déterminer la limite de f en + et interpreter graphiquement ce résultat.

2. a) Déterminer la limite de f en - . B) démontrer que la droite (d) d'équation y=x+2 est une asyptote pour Cf. c)Etudier la position de Cf par rapport à (d).

3. a)Montrer que la fonction dérivée de f a même signe que la fonction g étudiée dans la partie A. b)Montrer qu'il existe 2 entiers p et q tels que f(a)=pa+q. c)Dresser le tableau de variation de la fonction f.

Pour la question 1. la limite en + donne une forme indeterminé donc j'ai factorisé par x mais sa me donne toujours une forme indeterminée, d'après la calculatrice je trouve que la limite est 3 donc que c'est une asymptote horizontale mais je n'arrive pas à le trouver manuellement, merci de bien vouloir m'aider svp.

Pour la 2.a) la limite est - d'après la calculatrice, mais j'arrive pas à le trouver à la main.

Pour la question B) f(x)-x+2 = [x/(e^x+1)]-x+2, et je développe c'est sa?

[kavi]

Question 1

La limite en + n'est pas 3 mais 2 .On a bien une forme indéterminée. Mettre x en facteur est une bonne idée:

x/(e^x + 1 ) = x/x(e^x/x + 1/x ) tu simplifies par x

tu obtiens 1/(e^x/x + 1/x )

tu sais que la limite en + de e^x/x est + ( dans ton cours )

tu sais que la limite en + de 1/x est 0

Par somme la limite en + de e^x/x + 1/x est +

Donc la limite en + de 1/( e^x/x + 1/x ) est 0

Donc la limite en + de x/(e^x + 1 ) est 0

D'où la limite de f en + : 0 + 2 = 2

La droite d'équation y = 2 est donc asymptote horizontale à la courbe Cf en +

Question 2

La limite est bien - . Il n'y a pas de forme indéterminée. Tu devrais y arriver

Pour démontrer que (d ) est asymptote oblique à Cf en - :

1) tu calcules f ( x ) - ( x + 2 ) = f ( x ) - x - 2

2) tu montres que le résultat tend vers 0 quand x tend vers -

[lisa22]

pour le 2)il faut montrer que le résultat tend vers 0 mais pourquoi en - ?

f(x)-x-2 = [x/(e^x+1)]+2-x-2 = [x/(e^x+1)]-[x(e^x+1)/(e^x+1)] = (x-xe^x-x)/(e^x+1) = -xe^x/(e^x+1).

Lim quand x tend vers - de -xe^x=0

Lim quand x tend vers - de e^x+1=1

Donc par quotient, Lim quand x tend vers - de f(x)-(x+2)=0

Donc la droite d'équation y=x+2 est asymptote oblique à Cf.

2.c) Si x est plus petit que 0, c'est à dire sur l'intervalle ]- ;0[ alors fille de x est supérieur à 0 donc au dessus de la courbe Cf.

Si x est plus grand que 0, c'est à dire sur l'intervalle ]0;+ [ alors fille de x est inférieur à 0 donc en dessous de la courbe Cf.

3.a) La dérivée de f est: u(x)=x ; u'(x)=1 ; v(x)=e^x+1 ; v'(x)=e^x

(u'v-v'u/v²) = [1(e^x+1)-e^x(x)]/(e^x+1)² = (e^x+1-xe^x)/(e^x+1)²

Le signe de f '(x) dépend de -xe^x car le reste est strictement positif, si x plus petit que 0 alors f '(x) positif, si x plus grand que 0 alors f '(x) négatif mais je ne vois pas si il est du meme signe que g et puis le 3.c) j'y arrive pas, merci de votre aide.

[kavi]

Pour l'asymptote oblique c'est bien

La droite d'équation y = x + 2 est asymptote oblique à Cf en - uniquement car ce n'est que quand x tend vers - que la différence f ( x ) - ( x + 2 ) tend vers 0

Et en + , la courbe a une asymptote horizontale qui est la droite d'équation y = 2

Il n'y a pas la place pour deux asyptotes en + !

Pour la position de la courbe par rapport à son asymptote:

Si x appartient à ] - ; 0 [ on a f ( x ) - ( x + 2 ) > 0 donc Cf est au-dessus de la droite ( d ) sur ] - ; 0 [

Si x appartient à ] 0 ; + [ Cf est en dessous de la droite ( d )

Cf et ( d ) se rencontrent au point de coordonnées ( 0 , 2 )

Le calcul de la dérivée est juste

f ' ( x ) est du signe de son numérateur c'est à dire du signe de e^x + 1 - xe^x

On remarque que e^x + 1 - xe^x = e^x - xe^x + 1 = ( 1 - x )e^x + 1

Sous cette forme tu devrais voir le lien avec g ( x )

[kavi]

ok, merci beaucoup, vous pouvez me donner une petite piste pour le 3.b svp merci.

[lisa22]

Toute petite piste: a est solution de g ( x ) = 0

D'où e^a ( 1 - a ) + 1 = 0

e^a ( 1 - a ) = -1

e^a = -1/(1 - a )

Dans le calcul de f ( a ) tu peux donc remplacer e^a par -1/( 1 - a )

[kavi]

Toute petite piste: a est solution de g ( x ) = 0

D'où e^a ( 1 - a ) + 1 = 0

e^a ( 1 - a ) = -1

e^a = -1/(1 - a )

Dans le calcul de f ( a ) tu peux donc remplacer e^a par -1/( 1 - a )

[lisa22]

B) f(a)= [a/(e^a+1)]+2 = [(1-a)/(-a)]a+2 avec p= (1-a)/-a et q=2

Pour le tableau de variation c'est bon sauf qu'on me demande de tracer la tangente au point d'abcisse a. y= f '(a)(x-a)+f(a) = [(e^a+1-xe^a)/(e^a+1)²](x-a) + [a/(e^a+1)]+2, est ce que je dois résoudre cette équation si compliquée?

[kavi]

Tu te trompes dans le calcul de f ( a )

e^a + 1 = -1/(1 - a ) + 1 = [ -1 + 1 - a ]/( 1 -a ) = -a/( 1 - a ) = a/( a - 1 )

D'où 1/( e^a + 1 ) = (a - 1 )/a

f ( a ) = a/( e^a + 1 ) + 2 = a ( a - 1 )/a + 2 = a - 1 + 2 = a + 1

et f ' ( a ) = 0

La tangente au point d'abscisse a est horizontale et a pour équation y = f ( a ) c'est à dire y = a + 1

[kavi]

je n'arrive pas à comprendre pourquoi f (a) = a(a-1)/a+2