Polynôme P- Nombres Complexes.

[kavi]

Bonjour, je bloque sur une question merci de bien vouloir m'aider.

1. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l'équation P(z)=0

2. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout complexe z, on ait P(z)=(z-i(racine de 2))(z²+az+B).

3. Résoudre l'équation p(z)=0

Résolution: pour le 1. je n'arrive pas et pour le 2., je trouve a=1 et b=-73i(racine de 2) est ce que c'est juste? et comment on fait pour le 1.?

[lisa22]

Bonjour, je bloque sur une question merci de bien vouloir m'aider.

1. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l'équation P(z)=0

2. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout complexe z, on ait P(z)=(z-i(racine de 2))(z²+az+ B) .

3. Résoudre l'équation p(z)=0

Résolution: pour le 1. je n'arrive pas et pour le 2., je trouve a=1 et b=-73i(racine de 2) est ce que c'est juste? et comment on fait pour le 1.?

[kavi]

Il faut nous donner l'expression de P ( z ) . Impossible de t'aider si nous ne l'avons pas

[kavi]

A oui désolé, P(z)= z³+(14-i.racine de 2)z²+(74-14i.racine de 2)z-74i.racine de 2.et le bohomme avec des lunettes c'est un b.

[lisa22]

Bonjour,

Tu calcules P ( iy )

Tu as ( iy)³ = -iy³

(iy)² = -y²

Tu développes, puis tu sépares la partie réelle et la partie imaginaire ( ne pas oublier que y est réel ):

P ( iy )= -14y² +14 2 y + i ( -y³ + 2y² +74y -74 2 )

Comme iy est solution de l'équation P ( z ) = 0 on doit avoir

-14y² +14 2y = 0 et -y³ + 2y² +74y -74 2 =0

Tu résous la première équation ( en mettant 14y en facteur )

Cette équation n'a que deux solutions 0 et 2

L'une ce ces deux solutions vérifie la seconde équation

Donc y =...

Pour le 2) tu devrais trouver a = 14 et b = 74

[kavi]

Bonjour,

Tu calcules P ( iy )

Tu as ( iy)³ = -iy³

(iy)² = -y²

Tu développes, puis tu sépares la partie réelle et la partie imaginaire ( ne pas oublier que y est réel ):

P ( iy )= -14y² +14 2 y + i ( -y³ + 2y² +74y -74 2 )

Comme iy est solution de l'équation P ( z ) = 0 on doit avoir

-14y² +14 2y = 0 et -y³ + 2y² +74y -74 2 =0

Tu résous la première équation ( en mettant 14y en facteur )

Cette équation n'a que deux solutions 0 et 2

L'une ce ces deux solutions vérifie la seconde équation

Donc y =...

Pour le 2) tu devrais trouver a = 14 et b = 74

[lisa22]

Donc y = 2.

Pour le 2. je développe (z-i 2)(z²+az+ B) = z³ + az² + bz -i 2z² - i 2az - i 2b

= z³ + (a-i 2)z² + (b-i 2a)z -i 2b.

donc:

a= 1

b-i 2a = 74-14i 2 donc b= 74-13i 2.

[kavi]

Non

tu dois avoir 14 -i 2 = a - i 2 d'où a = 14

[kavi]

et le b. est ce que c'est bon?

[lisa22]

A oui donc a=14 et b=74.

3. P(z)=0 équivaut à (z-i 2)(z²+14z+74)=0 équivaut à z-i 2=0 ou z²+14z+74=0.

Pour la 1ère équation z= i 2. et pour la 2ème =14²-4*74= -100 donc deux solutions:

1) (-14-i 100)/2 = -8-5i 2) (-14+i 100)/2 = -8+5i

Donc les solutions sont: i 2; -8-5i; -8+5i.

C'est bon?

[kavi]

C'est presque bon. Tu as compris. Juste une petite étourderie

14/2 = 7 pas 8

Les solutions de z² +14z +74 = 0 sont donc -7 -5i et -7 + 5i

[lisa22]

A oui c'est vrai.

Est ce que vous pouvez m'aider pour la suite svp.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (o;u;v).

1. Placer les points A,B et I d'affixes respectives za=-7+5i zb=-7-5i zi=i 2.

2. Déterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre o et d'angle - /4.

3. Placer le point C d'affixe zc=1+i. Determiner l'affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.

4. Placer le point D d'affixe zd=1+11i. Calculer Z=(za-zc)/(zd-zb) sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Alors pour le 1. c'est bon, pour le 2. je sais qu'il faut utiliser la formule z'-w = eⁱ (z-w) mais j'y arrive pas.

[kavi]

Pour le 2 tu appliques la formule du cours que tu cites avec w = 0 et = - /4

Tu obtiens z_i' = (e^{-i /4} )(i 2)

Il suffit de remplacer i par e ^{i /2} pour obtenir Z_i' = 2 e ^{i /4}

On trouve ( et ce n'est pas un hasard ) l'affixe du point C de la question suivante : 1 + i

[lisa22]

Pourquoi remplacez vous i par e^{i /2} ?

[kavi]

Pourquoi vous remplacé i par e^{i /2} ? Et pour le c) je dois calculer (b-a)/(c-a)?

[lisa22]

On sait que la forme trigonométrique de i est e ^{i /2} car cos ( /2) + isin ( /2 ) = 0 + i = i

On peut donc remplacer i par e ^{i /2}

Pour le c) il faut faire ce que demande l'énoncé...za est l'affixe du point A, zb celle du point B..

On demande le calcul du quotient : ( za - zc )/ ( zd - zb )

On a za - zc = - 7 + 5i - ( 1 + i ) = - 8 + 4i

zd - zb = 1 + 11i - ( -7 - 5i ) = 8 + 16 i

Il faut calculer le quotient...

[kavi]

On sait que la forme trigonométrique de i est e ^{i /2} car cos ( /2) + isin ( /2 ) = 0 + i = i

On peut donc remplacer i par e ^{i /2}

Pour le c) il faut faire ce que demande l'énoncé...za est l'affixe du point A, zb celle du point B..

On demande le calcul du quotient : ( za - zc )/ ( zd - zb )

On a za - zc = - 7 + 5i - ( 1 + i ) = - 8 + 4i

zd - zb = 1 + 11i - ( -7 - 5i ) = 8 + 16 i

Il faut calculer le quotient...

[lisa22]

Oui mais on a pas encore fait le c. Demontrer que ABCN est un parallélogramme.

d. [(-8+4i)(8-16i)]/[(8+16i)(8-16i)] = 160i/320 = (1/2)i

[kavi]

J'ai relu les messages. Il n'y a pas de c) mais un 3)

On cherche N tel que ABCN soit un parallélogramme donc tel que [ AC ] et [ BN ] aient même milieu

Le milieu de [ AC ] a pour affixe ( za + zc )/2

Le milieu de [ BN ] a pour affixe ( zb + zn )/2

Il faut donc : za + zc = zb + zn

D'où zn = za + zc - zb

Le calcul du quotient pour la dernière question est correct

[kavi]

zn=-7+5i-7-5i-1-i = -15-i. Je n'est pas compris pour le 2 à partir de z'i= 2e^{i /4}. Pouvez vous me réexpliquer svp?

[lisa22]

Le calcul de zn est faux

Pour la question précédente, c'est une question "classique" . Un exemple a du être traité en cours. Tu as peut être ( sans doute ? ) un exercice corrigé analogue traité dans ton manuel

[kavi]

Le calcul de zn est faux

Pour la question précédente, c'est une question "classique" . Un exemple a du être traité en cours. Tu as peut être ( sans doute ? ) un exercice corrigé analogue traité dans ton manuel

[kavi]

D'accord merci, Zn est faux! Pourquoi?

[lisa22]

3) (za+zc)/2 = (-7+5i+1+i)/2 = (-6+6i)/2 = -3+3i

(zb+zn)/2 = (-7-5i+zn)/2

donc, -3+3i = (-7-5i+zn)/2 équivaut à zn = 1+11i.

4)Z= (za-zc)/(zd-zb) = (1/2)i Forme algébrique.

(1/2)e^{i /2}. Forme trigonométrique.

(AC) et (BD) sont perpendiculaires car = /2.

Donc ABCD est un carré.

C'est bon?

[kavi]

Si tu avis fait la figure tu verrais que ABCD n'est pas un carré

Ton calcul de zn est correct. Tu remarques que N = D

Donc d'après la question précédente ABCD est un parallélogramme

Comme les diagonales ( AC ) et ( BD ) sont perpendiculaires ( ton calcul est bon ), le parallélogramme ABCD est un losange. Pour que ce soit un carré il faudrait de plus que ( AB ) et ( BC ) soient perpendiculaires ce qui n'est pas le cas.