Etude De Fonction

[arnaudrou]

Bonjour,

Qui peut m'aider a faire mon dm qui me cause du soucis.

Enoncé:

Partie1:

On considère la fonction f définie ]0;+[ par f(x)=1/2(x+2/x). C désigne sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; i; j).

1.Etudier la limite de f en 0.Interpréter graphiquement

2.Etudier la limite de f en +.

3.a)Montrer que la droite D d'équation y=(1/2)x est asymptote à C

b)Etudier les positions relatives de C et de D

4.Etudier les variations de f.

5.Représenter graphiquement C et D avec soin

Partie 2

On définit la suite (U_n) par u₀=1 et n, u_n+1=f(U_n).(On admet que la suite (U_n) est définie sur .)

1.a) Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite (U_n).

b)Conjecturer sur le comportement de (U_n):variation et limite.

2.a) Calculer les valeurs exactes de u₁, u₂, u₃.

B) Vérifier a l'aide de la calculatrice les inégalités suivantes : u₀<2<u₃<u₂<u₁

3.a) Montrer par récurrence que n^*, 2<u_n+1<u_n 3/2.

b)En déduire le sens de variation de (U_n) ainsi que la convergence de (U_n)

4.a)Montrer que n^*, |u_n-2|1/2(u_n-1-2)².

B)Vérifier que |u₀-2|<1/2. En déduire par récurrence que n,|u_n-2|(1/2)⁽²^^n+1-1)

c)Prouver que n, 2ⁿ⁺¹-1 n+1. En déduire la limite de (U_n).

d)A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que (0.5)⁽²^^n+1-1)<10^-9.

En déduire que u₄=(665857)/(470832)2 à 10^-9 près.

Merci d'avance

[philippe]

bonjour,

as tu fait qq chose?

quel est le vrai soucis?

[arnaudrou]

Alors voici ce que j'ai fais (à corriger svp) et ce qui coince:

Partie 1:

1) la limite de f en 0:

lim 1/2 = 1/2

x --> 0

lim x + 2/x = 0

x--> 0

produit:

lim f(x) = 0

x--> 0

Interprétation graphique: x=0 est asymptote à C

2) meme facon pour + et la je trouve lim f(x) = +

3.a) pour montrer que y=1/2x est asymptote à C je fais f(x) - (1/2x) = 1/x

je fais la lim en +

lim 1/x = 0 donc la courbe y= 1/2x est bien asympote.

B) pour étudier les positions relatives de c et d il faut faire le tableau de variation de 1/x la je suis pa trop sur de mon interprétation mais je pense que c'est: 1/x est positif sur

]-,0[ donc D est au dessus de C sur cet intervalle, et sur ]0;+[ D est en dessous de C.

4) Pour étudier les variations de f il faut dériver

5) c'est bon

partie 2

1)a) C'est bon

B) pour conjecturer j'ai mis: Cette approche graphique nous laisse penser que la suite (un) est croissante et qu'elle a pour limite + (pas sur pour la limite).

2)a) u1 = 3/2

u2 = 17/12

u3 = 577/408

B) après vérification c'est bon

3)a) A partir de cette question je coince pour le reste....

Merci d'avance pour votre aide

[arnaudrou]

sans faire la 3)a) je peux faire la 3)B):

puisque u_n+1 < u_n alors u_n est décroissant (bizare j'avais conjecturé le contraire) et converge vers racine de 2.

Vous pouvez m'aider pour le reste? et aussi me corriger ce que j'ai fais...