Les Nombres Complexes

[fleg62]

DM de Mathématiques a rendre avant le 04-10-07

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O; u; v) L'unité grahique est 3 cm.

A tout pt M daffixe z du plan on associe le pt M' d'affixe z' par l'application f qui admet pour écriture complexe :

z' = [ (3+4i)z + 5z conj ] / 6

1] Déterminer les affixes des pts A' B' et C' images de A B et C d'affixes (1+2i) ; (1) ; (3i)

2] on pose z= x+ iy (x et y réels)

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z' en fonction de x et de y

3] Montrer que l'ensemble des Points M invariants par f est la droite (D) d'équation y=1/2 x

Tracer (D). Quelle remarque peut on faire ?

4] Soit M un point quelconque du plan et M' son image par f. Montrer que M' appartient a la droite (D).

5] a. Montrer que pour tout nombre complexe z:

(z'-z)/Za = (z+z conj)/6 + i(z-z conj)/3

En déduire que le nombre (z'-z)/Za est réel.

Voilà je suis nul en maths. Je ne demande qu'à progresser. Mais je n'ai su faire que la question 1, après je décroche déjà... Jvoudrai vraiment y arriver. Si vous pouvez m'aider ce serait super sympa. Merci d'avance.

[philippe]

Bonjour,

je note conj(z)=z* (c'est plus facile)

z'=f(z)= [ (3+4i)z + 5z* ] / 6

1] Déterminer les affixes des pts A' B' et C' images de A B et C d'affixes (1+2i) ; (1) ; (3i)

A'=f(A)

f(1+2i)=0

A toi pour les autres, c'est du calcul.

2] f(x+iy)=2(2x-y)/3+i(2x-y)/3

Re(z')=2(2x-y)/3

Im(z')=(2x-y)/3

3] points invariants par f : résoudre l'équation aux points fixes f(z)=z

(2 cplx sont égaux ssi les parties réelles sont égales et les parties imaginaires aussi.)

ce qui amène donc à résoudre le système

2(2x-y)/3=x

(2x-y)/3=y

je te le laisse, c'est pas si difficile.

4] soit M(x,y)

alors M'(x'=2(2x-y)/3,y'=(2x-y)/3)

on remarque que y'=x'/2.

donc que M' est sur D.

5] a.

(z'-z)/Za = (z+z conj)/6 + i(z-z conj)/3

Za=???

En déduire que le nombre (z'-z)/Za est réel.

[fleg62]

Merci beaucoup pour cette réponse Philippe. J'avais essayé de le faire tout seul après avoir posté ce message et je n'avais pas tout trouvé. Ton message m'a beaucoup aidé. Mon but n'étant pas de recopier une correction crachée par mes copains mais vraiment d'avoir une aide via ce forum et essayer par moi même, me débrouiller tout seul ou plutôt me débrouiller grâce a votre aide ! Sincèrement je suis inscrit depuis 2 jours et je vous remercie tous, car je m'épanouie vraiment en voyant que je peux enfin aboutir a quelque chose par moi même alors que j'ai complétement planté ma 1ère. Merci beaucoup. Merci de me redonner confiance en moi indirectement, et de m'apporter votre aide. Je ne suis pas sur qu'en rédigeant votre message vous auriez pensé me faire autant de bien. Mais je me réjouis de me ressentir élève qui progresse petit à petit et qui rattrape peu a peu son retard.