Exercice Logarithme

[Bouboubou]

Bonjour à toute l'équipe.

Voila, j'ai commencé un exercice que je dois rendre pour mardi et je bloque sur la fonction elle-même.

-On considère une fonction définie sur ]1;+00[ par : f(x)=-x+4+Ln(x+1/x-1).C désigne la courbe représentative de f.

1. Etudier les limites de f en 1 et en +00.

2. Montrer que pour tout réel x de ]1;+00[ on a : f'(x)= x²+1/(x+1)(x-1) et en déduire le sens de variation de f sur cette intervalle.

3.a) Montrer que que la droite D d'équation y=-x+4 est asymptote à la courbe C en +00.

b)Montrer que pour tout x de ]1;+00[, x+1/x-1>1 et en déduire la position de C par rapport a D.

4. Déterminer les coordonnées du point de C, où la tangente à la courbe a un coef directeur égal à -5/3, et donner une équation de cette tangente delta.

5. Montrer que, sur l'intervalle [4;5], l'équation f(x)=0 admet une solution unique alpha.

Merci

J'ai déjà commencé à étudier les limites ( q° 1) limite en 1> +00, limite en +00 > 0 mais je ne suis pas sur de ces limites.

Après je bloque sur cette maudite fonction et si vous pouviez me donner un coup de pouce ça serait super simpa merki :P

[elp]

je t'envoie de quoi débuter

si x td vers +00 alors (x+1)/(x-1) td vers 1 et son ln td vers 0

-x+4 td vers -00

conclusion f(x) td vers -00

f(x) peut aussi s'écrire -x+4+ln(x+1)-ln(x-1)

qd x td vers 1 alors ln(x-1) td vers -00 et -x+4+ln(x+1) td vers -1+4+ln(2)

conclusion la limite est +00

pour la dérivée

on pose U=(x+1)/(x-1)

la dérivée de lnU est U'/U

U' est [1*(x-1)-(x+1)*1]/(x-1)²= -2/(x-1)²

U'/U= -2/(x-1)² /(x+1)/(x-1)= -2/(x-1)² * (x-1)/(x+1)= -2(x+1)/(x-1)

f '(x)=-1+0+ -2(x+1)/(x-1)=-1-2/(x²-1)=(-x²+1-2)/(x²-1)= - (x²+1)/(x²-1)= -(x²+1)/(x+1)(x-1)

x²+1 est toujours positif dc la dérivée est du signe contraire de (x+1)(x-1) c'est facile à finir.

f(x)-(-x+4)=ln((x+1)/x-1))

qd x td vers +00 alors (x+1)/(x-1) td vers 1 et le ln td vers 0

qd x td vers +00, f(x)-(-x+4) td vers 0 dc on a bien l'asymptote demandée

(x+1)/(x-1)-1=(x+1-x+1)/(x-1)=2/(x-1)

c'est positif pour x>1 dc (x+1)/(x-1) >1 si x>1 dc le ln est >0 et f(x)-(-x+4) >0 ce qui fait que la courbe est au dessus de son asymptote

bonne fin d'exercice et bonne année 2006

[Bouboubou]

je t'envoie de quoi débuter

si x td vers +00 alors (x+1)/(x-1) td vers 1 et son ln td vers 0

-x+4 td vers -00

conclusion f(x) td vers -00

f(x) peut aussi s'écrire -x+4+ln(x+1)-ln(x-1)

qd x td vers 1  alors  ln(x-1) td vers -00 et -x+4+ln(x+1) td vers -1+4+ln(2)

conclusion la limite est  +00

pour la dérivée

on pose U=(x+1)/(x-1)

la dérivée de lnU est U'/U

U' est [1*(x-1)-(x+1)*1]/(x-1)²= -2/(x-1)²

U'/U= -2/(x-1)² /(x+1)/(x-1)=  -2/(x-1)²  * (x-1)/(x+1)= -2(x+1)/(x-1)

f '(x)=-1+0+ -2(x+1)/(x-1)=-1-2/(x²-1)=(-x²+1-2)/(x²-1)=  -  (x²+1)/(x²-1)=  -(x²+1)/(x+1)(x-1)

x²+1 est toujours positif dc la dérivée est du signe contraire de (x+1)(x-1) c'est facile à finir.

f(x)-(-x+4)=ln((x+1)/x-1))

qd x td vers +00 alors (x+1)/(x-1) td vers 1 et le ln td vers 0

qd x td vers +00,  f(x)-(-x+4) td vers 0 dc on a bien l'asymptote demandée

(x+1)/(x-1)-1=(x+1-x+1)/(x-1)=2/(x-1)

c'est positif pour x>1 dc (x+1)/(x-1) >1 si x>1 dc le ln est >0 et f(x)-(-x+4) >0 ce qui fait que la courbe est au dessus de son asymptote

bonne fin d'exercice et bonne année 2006

<{POST_SNAPBACK}>