Dm Ts Aidez-moi

[Wanou]

Soit (Un) et (Vn) les suites définies pour tout entier naturel n par:

Uo=9, Un+1=1/2 Un-3 mai n+1 sont associé , Vn=Un+6

1°a)Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 1/2

Justifier que les termes de la suite (Vn) sont strictement positifs

b)Pour tout n de IN, Sn= la somme de Uk quand k=o

justifier que Sn= 30 (1- (1/2)puissance n+1 ) -6 (n+1)

c)Déterminer lim Sn quand n tend vers +oo

2°On définit pour tout entier n, la suite (Wn) par Wn= ln (Vn) (ln= logarithme nép) Montrer que (Wn) est une suite arithmétique

E^primer S'n= la somme de Wk quand k=o en fonction de n et déterminer lim S'n quand n tend vers +oo

3° Exprimer le produit Pn= v0 v1 ......vn en fonction de n. Déduire lim Pn quand n tend vers +oo

merci beaucoup d'avance wanou

[elp]

Suites arithmétiques

en préambule:

1er terme Uo et raison a

Un+1=Un+a (un terme s’obtient en ajoutant la raison a au terme qui le précède)

Un=Uo+n*a

S=U0+U1+U2+….Un=(n+1)*(U0+Un)/2 et on peut remplacer Un par U0+n*a

Suites géométriques

1er terme U0 et raison b

Un+1=Un * b (un terme s’obtient en multipliant la raison b par le terme précèdent)

Un=U0 *b^n

S=U0+U1+U2+….Un=U0*(1-b^(n+1))/(1-b) qd b différent de 1

Il faut utiliser cela ds ton dm

1) Vn+1=Un+1 + 6=Un/2-3 + 6=Un/2+3=0.5(Un+6)=0.5Vn

Pour tout n Vn+1=0.5*Vn dc suite géo de raison 0.5

Vn=(0.5)^n*V0=(0.5)^n*(U0+6)=(0.5)^n*15 dc tous les Vn sont positifs

Un=Vn-6

Somme (de 0 à n) des Un=somme(de 0 à n) des (Vn-6)=somme (de 0 à n)Vn –(n+1)*6

(Car il y n+1 termes égaux à 6)

somme des Vn=V0(1-(0.5)^n+1)/(1-0.5) (voir formule donnée en préambule)

dc 15*(1-(0.5)^n+1)/0.5=30*(1-(0.5)^n+1)

le résultat est dc 30*(1-(0.5)^n+1)-(n+1)*6

0.5^n td vers 0 qd n td vers +00 dc la limite demandée est -00

2)

Wn=ln(Vn) (possible car les Vn sont >0)

Wn=ln(15*0.5^n)=ln(15)+ln(0.5^n)=ln(15)+n*ln(0.5)

Wn+1=ln(15)+(n+1)*ln(0.5)

Wn+1-Wn= ln(15)+(n+1)*ln(0.5)- ln(15)+n*ln(0.5)=ln(0.5) dc suite arith de raison ln(0.5)

Ensuite tu peux calculer la somme (de 0 à n) des Wn (voir la formule donnée au début)

je te laisse finir

D’autre part W0+W1+W2+…Wn=ln(V0)+ln(V1)+ln(V2)+….ln(Vn)=ln(V0*V1*V2…*Vn)=ln du produit des Vn

ln (prod des Vn)=somme desWn

cela te permet de trouver le produit demandé et de terminer l'ex