Besoin D'aide

[rammstou]

Bonjour,

pouvez-vous vérifier si mes résultats sont bons ? Et je ne trouve pas les questions 3.1, 3.2, 3.3 et 4.

On donne les équations différentielles :

(E) : x(x²+1) y’-2y = x^(3).(x-1) e(-x)

(E’) : x(x²+1) y’-2y =0

où y désigne une fonction d la variable x , définie et dérivable sur l’intervalle 0 exclu + inf et y’ la fonction dérivée de la fonction y.

1.1 Déterminer le réels a ,b et c tels que, pour tout réel x de l’intervalle 0 exclu inf, on ait :

2/(x(x²+1)=a/x+bx+c/x²+1

J’ai trouvé a=2 ;b=-2 ; c=0

1.2 En déduire une primitive h de la fonction h , h(x)=2/(x(x²+1)

J’ai trouvé : 2lnx -ln (x²+1)

2 Résoudre l’équation différentielle (E ‘)

J’ai trouvé : yh=k.e(ln (x²/x²+1))

3 On se propose de déterminer une fonction g définie et dérivable sur 0 + inf telle que la fonction p, définie sur 0 +inf par p(x)=(x²/(x²+1)).g(x) , soit une solution de l’équation différentielle ( E).

3.1 Démontrer que, pour tout réel x de 0 +inf, g’(x)=(x-1)².e(-x)

3.2 Déterminer les réels q, r et s, tels que la fonction F, définie sur l’intervalle 0 +inf par F(x)=(qx²+rx+s).e(-x), soit une primitive de la fonction de la fonction g’

3.3 En déduire une solution particulière de ( E).

4 En déduire la solution générale de (E ).

Merci d'avance.

[Matrix_]

salut,

Ta première partie à l'air correcte (car en dérivant la primitve que tu as trouvé, on trouve bien h(x))

Mais un petit détail yh=k.e(ln (x²/x²+1)) donc y(x)= K(x²/(x²+1)) car a^x=exp(xln(a))

Pour la 3) tu as donc y(x)= K(x²/(x²+1)) pour trouver une solution particulière pour une ED d'ordre 1 avec second membre on applique la variation de la constante K.

Soit une SP de la forme A(x)=K(x)(x²/(x²+1) (en gros on cherche à trouver K(x), dans l'énoncé A=p et K=g. Dérivons A:

A'(x) = K'(x)(x²/(x²+1) + K(x)(2x(x²+1)-2x^3)/(x²+1)²

En remplacant dans l'equa diff on a:

x(x²+1) y’-2y = x^(3).(x-1) e(-x)

> K'(x)(x²/(x²+1) + K(x)(2x(x²+1)-2x^3)/(x²+1)² -[2/x(x²+1)]K(x)(x²/(x²+1) = x².(x-1) e(-x)/(x²+1)

Après arrangements et simplification on trouve

> K'(x) = (x-1)² e(-x)

Miracle

Question suivante: ton F est censé être la primitivé qu'il faut trouver, tu as ton K' = g'

donc il faut remplacer dans l'ED a nouveau le y' par K' et le y par F, tu arranges les termes, simplifie, et il faut regrouper les termes en x, x², x^3...ensemble, puis tu identifie les coefficients au second membre de l'eq, tu auras ainsi le p, q et r.

Ta SP sera p(x)=(x²/(x²+1)).g(x) et donc solutions générale: y(x) = K(x²/(x²+1)) + p(x) c'est-à-dire sol= (sol sans second membre) + (Sol Particulière SP)

[elp]

Matrix a tout à fait raison en te donnant la méthode pour résoudre ce genre d’équa diff.

Je vais répondre aux questions qui te sont posées ds ton énoncé.

3-1

p(x)=x²*g(x)/(x²+1)

il faut dériver p(x)

on trouve p’(x)=2x*g(x)/(x²+1)² + x²*g’(x)/(x²+1)

on calcule x(x²+1)p’(x)-2p(x)

on trouve x^3*g’(x)

ce 1er membre doit être égal à x^3(x-1)e^-x dc g’(x)=(x-1)*e^-x

3-2

F(x)=(qx²+rx+s)e^-x

On dérive

F’(x)=(2qx+r)e^-x-(qx²+rx+s)e^-x

=e^-x(-qx²+x(2q-r)+r-s) et doit faire (x-1)e^-x

on identifie et on trouve F(x)=-x*e^-x

on a trouvé une solution particulière de E, c’est x²/(x²+1) multiplié par –xe^-x ce qui fait

(-x^3*e^-x)/(x²+1)

la solution générale est la solution générale trouvée pour E’ plus la solution particulière trouvée pour E dc Kx²/(x²+1)-(x^3e^-x)/(x²+1)

[elp]

pour trouver la solution générale de l'équation diff E

on commence par chercher la solution générale de cette équation avec le second membre égal à zéro, c'est à dire ici la solution générale de E'

ensuite on cherche une solution particulière de E

on ajoute les 2 et on trouve une solution générale de E (c'est surement ds ton cours)

A plus