Exo Barycentre

[Yoyo4444]

Bonjour,

J'ai un devoir de maison en 1ère S à faire mais je bloque complétement dessus :

on considère un triangle ABC. On notera aire (PQR)l'aire d'un triangle PQR.

PARTIE A:

M est un pointde[bC]distinct de B et C.

1-Montrer que M est le barycentre de ((B;MC);(C;MB))

2- En déduire que M est aussi le barycentre de ((B;aire(AMC));(C;aireAMB)))

PARTIE B:

M Est un point à l'intérieur du triangle ABC ;

A', B' et C' sont les pts d'intersection respectifs de (AM) et (BC), (BM) et (CA), (CM)et (AB).

1- déduire de la partie A que A' est le barycentre de (B ; aire(AA'C)) ; (C  ;aire(AA'B))

Et qu'il est barycentre de (B ; aire(MA'C)) ; (C ; aire(MA'B))

2- en déduire que A' est le barycentre de (B;aire(AMC)) ; (C;aire(AMB))

3-montrer que M est le barycentre de ((A;aire(MBC)) ; (B;aire(AMC)) ; (C;aire(AMB)))

PARTIE C:

1- montrer que le centre de gravité d'un triangle le partage en 3 triangles de meme aire

2- I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

on pose a=BC; b=CA et c=AB

montrer que I est le barycentre de (A;a);(B;b);(C;c)

[elp]

A)on cherche:

MC*vect(MB)+MB*vect(MC)

En orientant de B vers C: on a -MC*BM+MB*MC ce qui fait 0 dc M est bien le bary cherché

Si h désigne la hauteur issue de A, les aires sont BM*h/2 et MC*h/2

Comme MC*vect(MB)+MB*vect(MC)= vect(0) alors( h/2)*[MC*vect(MB)+MB*vect(MC)]= vect(0) dc on a la conclusion

B)

1)On utilise la A) ds le triangle ABC en remplaçant M par A’

on fait pareil mais ds le triangle MBC (on remplace A par M)

2)l’aire de AA’C =aire de MAC + aire de MA’C

idem pour AA’B

par soustraction ,on obtient la conclusion

3) on fait pareil avec B’ puis avec C’

M=bary B(MAC) et C(MAB) dc vectMB*(MAC)+vectMC*(MAB)=vect0

M=bary B(MAC) et A(MBC)dc ……..

M= bary A(MBC) et C’MAB)dc……….

On ajoute membre à membre et on arrive à la conclusion

C)d’après B)

1)

vectMA*(MBC)+vectMB*(MAC)*vectMC*(MAB)=vect0

si G est le centre de gravité, on obtient en remplaçant M par G

vectGA*(MBC)+vectGB*(MAC)*vectGC*(MAB)=vect0

le centre de grav est l’isobary de A,B,C dc les 3 coeffs sont égaux dc les 3 aires sont égales

2)on remplace M par I

si r est le rayon du cercle inscrit les aires de IAB , IAC et IBC sont rc/2,rb/2 et ra/2

vectMA*(MBC)+vectMB*(MAC)*vectMC*(MAB)=vect0

devient

vectIA*ra/2 + vectIB*rb/2 +vectIC*rc/2=vect0

en divisant par r/2 on arrive à ce que l’on veut

[Yoyo4444]

Yeah !!

Merci beaucoup elp !

Je vais rédiger tout ça maintenant, je pense que je ne rencontrerai pas de problèmes !

Merci encore,

Yoyo