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  • E-Bahut
Posté(e)

bonsoir à tous,

j'ai des problèmes pour finir un DM

c'est la deuxième partie d'un DM

auparavant on a montré que les fonctions trigonometriques sont continues.

on sait que que l est la limite de la suite (un)=sin (n*teta) où teta est un nombre réel.

on sait aussi que l verifie l'equations l²=4l²(1-l²)

voici les questions qui me posent problème :

1 ) déduire de sin(n+1)*teta= sin (n*teta)cos(teta)+cos(n*teta)sin(teta) que

l²= cos²(teta/2) si teta different de 2kpi.

2 ) Trouver les valeurs pour lesquelles (un) peut converger

Voilà ces juste ces 2 questions sur lesquelles je bloques....donc si quelqu'un pouvait me donner de l'aide ce serait sympa

En complement on a recu les deux egalités suivantes :

sin(teta) = 2sin(teta/2)*cos(teta/2) et cos(teta)= cos²(teta/2)-sin²(teta/2)

  • E-Bahut
Posté(e)

es-tu certain de l²=4l²(1-l²) ? comment as-tu trouvé ça ?

ds le 1) tu peux remplacer sin[(n+1)@] par l ainsi que sin(n@) et penser aussi que cos²(n@)=1-sin²(n@)

ds le 2, c'est les valeurs de @ qu'on doit trouver ?

je ne peux pas t'aider plus car je n'ai pas assez d'éléments

A plus

  • E-Bahut
Posté(e)

je te marque toute la 2e Partie :

Soit teta un nombre réel et considerons la suite (un) definie par un = sin(n*teta)

1) Dans cette question, on suppose que la suite (un) converge vers une limite l € R

a) Montrez en utilisant les relations sin(2n*teta) = 2sin(teta)cos(teta) et cos²(n*teta) + sin²(n*teta) = 1, montrer que l doit vérifier l'équation l²=4l²(1-l)²

b ) Résoudre l'equation l²=4l²(1-l²)

J'ai 3 solutions, 0 -V3/2 et V3/2

ensuite il y a les deux que j'ai mises

"ds le 1) tu peux remplacer sin[(n+1)@] par l ainsi que sin(n@)"

ca veut dire que sin(n+1)@ et sin n@ ont la meme limite donc ?

Néanmoins, à la base la partie II c'etait pas ca, la prof à remarqué un jour avant que l'on devait le rendre que il y avait une faute dans la partie II et donc elle a mis ces 2 questions au tableaux

j'ai parlé avec d'autres etudiants de mon groupe, et il n'y avait pratiquement personne qui avait reussi, donc c'est possible qu'il y ait encore une faute....

  • E-Bahut
Posté(e)

pour la 2)

oui il s'agit des valeurs de teta

  • E-Bahut
Posté(e)

qd n td vers 00, sin(n@) et sin[(n+1)@] tendent tous les 2 vers l et à cause de la continuité de sin tu peux remplacer sin(n@) et sin[(n+1)@] par l

à la 1ère question

sin(2n@)=2sin(n@)cos(n@) en passant à la limite

l=2lcos(@)

l²=4l²cos²(n@)=4l²(1-sin²(@))=4l²(1-l²)

on trouve bien les racines que tu indiques

sin[(n+1)@]=sin(n@)cos(@)+cos(n@)sin(@)

l=lcos(@)+cos(n@)sin@

l-lcos@=cos(n@)sin@

au carré

l²(1-cos@)²=cos²(n@)sin²@

l²(1-cos@)²=(1-l²)sin²@=sin²@-l²sin²@

l²[(1-cos@)²+sin²@)]=sin²@

l²(1-2cos@+cos²@+sin²@)=sin²@

l²(1-2cos@+1)=sin²@

l²(2-2cos@)=sin²@

2l²(1-cos@)=sin²@ et si cos @ diff de 1 dc @ diff de 2kpi

l²=sin²@/2(1-cos@)

le num est 4*sin²(@/2)cos²(@/2)

le déno est 2(1-cos²(@/2)+sin²(@/2)=2(sin²(@/2)+sin²(@/2)=4sin²(@/2)

le quotient est donc cos²(@/2)

tu connais les valeurs possibles de l donc maintenant tu peux trouver les valeurs possibles de cos²@/2 dc de @

A plus

  • E-Bahut
Posté(e)

merci beaucoup elp !

passe une bonne soirée

  • E-Bahut
Posté(e)

ayant éliminé le cas où @=2kpi, il faut ensuite étudier ce cas particulier

si @=2kpi, alors n@=2knpi et le sinus est nul

tous les termes de la suite sont 0

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