Dm Suites Et Continuité

[italiano3]

bonjour à tous,

j'ai un problème pour finir un DM,

j'ai essayé de scanné la feuille mais ca prend pas donc je réecrit tout à la main.....

Partie 1

1) Soit I un intervalle de R, soit f :I --> R une fonction et a un element de I.

a L'aide de la definition de la limite, montrez que l'on a :

lim f(x) quand x tends vers a = lim f(a+h) quand h tends vers 0

deja ici je bloque, j'ai jamais reussi à faire une demo où il fallait utilisé la definition de la limite....

2) On considere le cercle trigonometrique de centre O.soit x € ] -pi/2 , pi/2 [ un reel.

soit M le point du cercle tel que la longueur algebrique de l'arc AM soit x.

A(1,0) ; M(cos x, sin x) et T est le point de coordonée ( 1, tan x )

T est le point d'intersection entre (OM) et la perpendiculaire à OA passant par A.

a) Montrez que l'air de la portion de disque OAM est |x|/2. ( on peut raisonner en terme de proportionalité en calculant le perimetre et l'aire total du cercle )

ici j'ai reussi pas de problème

b ) En considerant que le triangle OAM est dans la portion de disque OAM, montrez que l'on a 0 |sin x | |x|. On utilisera la proprieté de l'aire suivante : Si A et B sont des surfaces du plan telle que A C B ( C=est inclus dans , alors l'aire de A Aire de B

ici aussi pas de problème

c) de meme, montrez que l'on a l'inegalié |sin x | |x| |tan x | pour tout x € ]-pi/2; pi/2 [

ici aussi c'est bon

c'est à partir d'ici que je commence à galerer

3) Dans cette question on va montrer que les fonctions trigonometrique sont continues.

a) Montrez que lim sin x quand x tends vers 0 = sin 0

b ) Montrez que l'on a lim cos x quand x tends vers 0 = cos 0

Ici c'est bon pas de problème

c) soit a € R.Montrez que lim sin(a+h) quand h tends vers 0 = sin a et lim cos(a+h) quand h tends vers 0 = cos a.

d) Déduisez en que cos et sin sont des fonctions continues sur R et que la fonction tan est continue sur son intervalle de definition.

Pour cos et sin c'est bon, on utilise la definition d'une fonction continue.

Par contre pour tan (x) je ne suis pas sure, ca suffit de dire que tan x est le rapport de deux fonctionx continues ??

[elp]

quel que soit e>0 il existe n>0 tel que pour tt x de I, lx-al<n entraine l f(x)-lim l<e

soit h=x-a (dc x=a+h)

avec ce qui précède, on a l h l<n entraine l f(a+h) - lim l<e

ça veut dire que si h td vers 0 alors f(a+h) td vers lim

pour la fin:

th:

si f et g sont continues en x0 et si f(x0) n'est pas nul alors g/f est continue en x0

[italiano3]

merci elp,

et pour la 3a),

y'a pas un auter moyen que d'utiliser le theoreme ?

[Matrix_]

D'autres manières surement, les maths c'est un labyrinthe

Mais on te demande d'en déduire que cos et sin sont continues sur R, donc logiquement pour répondre à la question, il faut se servir de ce résultat et utiliser le théorème énoncé par elp

[elp]

|sin x | |x| |tan x |

tu as montré cela dc 0<=lsin(x)l<=lxl

qd x td vers 0 :lsin(x)l td dc vers 0 (il est "coincé" entre 0 et lxl qui td vers 0)

il faut utiliser le th (ou bien le redémontrer ?)

[italiano3]

en effet, je n'avais pas vu cet espece de theoreme des gendarmes

Merci et bonne soirée