Exercice Sur La Récurrence Pour Lundi

[Tubis]

Bonjour a tous, je voudrais de l'aide sur mon exo de math, help please

J'ai un exercice sur la récurrence a faire pour demain mais étant donné que je suis nul dans ce domaine, je n'y comprends absolument rien, on a essayé de le faire a plusieurs avec mes camarades mais toute les solutions menent a rien sacré professeur :P

Plus exactement, c'est la trigonométrie qui me gêne sur cet exercice.

Donc voila l'exercice :

Soit f définie sur R par f(x) = sin² (2x - pi / 4 )

1) Déterminer les fonctions f', f", f"' et f"" . Montrez que f"" est définie sur R par

f"" (x) = 2. 4^3 .sin(4x + pi )

(J'ai du mal a faire des dérivées lorsqu'il ya de la trigonométrie)

2) Démontrez à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout n € N* , pour tout x € R, on a

f^(n) (x)= 2. 4^n-1 . sin(4x + (n-2). pi /2 )

3) En remarquant que pour tout k € N cos (k pi) = ( -1)^k , déterminez une écriture simple de f^(n) (pi/4) dans les deux cas de figure :

n=2p et n=2p+1 où p désigne un entier naturel non nul

Voila, j'ai extremement du mal a le faire, quelques pistes ou quelques réponses seraient absolument la bienvenue

Je vous remercie tous d'avance.

[elp]

on sait que sin²(a)=0.5(1-cos(2a)) (formule du cours, elle se déduit de

cos(2a)=1-2sin²(a)

tu as donc f(x)=0.5(1-cos(4x-pi/2))=0.5(1-sin(4x)) =0.5-0.5sin(4x)

tu vas pouvoir dériver plus simplement

la dérivée de sin(u) est u'*cos(u) dc la dér de sin(4x) est 4*cos(4x)

la dérivée de cos(u) est u'*[-sin(u)] dc la dérivée de cos(4x) est -4sin(4x)

on a f'x)=-2*cos(4x)

f''(x)=8sin(4x)

f'''(x)=32cos(4x)

f''''(x)=-128sin(4x)=128sin(4x+pi)=2*64sin(4x+pi)=2*(4^3)sin(4x+pi)

pour la récurrence

tu supposes la pro vraie à l'ordre n et tu dérives comme c'est fait au dessus, ça va aller tout seul !

[Tubis]

merci elp t'es trop génial, mais pour le 2) j'ai beau me creuser la tete et j'ai du mal , dis moi si je dois utiliser ces formules :

la dérivée de x --> sin(ax + B) est x --> a cos(ax + B)

et cos(A)= sin (A + pi / 2 )

[elp]

merci elp t'es trop génial, mais pour le 2) j'ai beau me creuser la tete et j'ai du mal , dis moi si je dois utiliser ces formules :

la dérivée de x --> sin(ax + B) est x --> a cos(ax + B)

et cos(A)= sin (A + pi / 2 )

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[Tubis]

voila elp, tout d'abord merci beaucoup pour l'aide que tu m'as donnée hier, c'était sympa mais voila le probleme la question 3 étant incompréhensible au niveau où j'en suis, j'ai du abandonner hier donc je l'ai pas faite malgré divers essais et manque de temps, mais par miracle mon prof n'était pas là aujourd'hui donc ce qui me donne un délai de 1 jour de plus, je te demanderai donc de m'aider un peu plus pour la question 3 car je ne comprends absolument rien avec le cos( k pi ) ....

la 2) j'ai su la retrouver par récurrence ca a marché encore une fois merci beaucoup

et help me , please pour la 3

ce qui me gene dans cet exo c'est le p entier naturel

merci d'avance!!

[elp]

f^(n) (x)= 2. 4^n-1 . sin(4x + (n-2). pi /2 )

si n est pair, il peut s'écrire 2*p avec p entier naturel

si n est impair, il peut s'écrire 2*p+1 avec p entier naturel

f^(n) (pi/4)= 2. 4^n-1 . sin(4*pi/4 + (n-2). pi /2 )=

2. 4^n-1 . sin(2*pi/2 + (n-2). pi /2 )=2. 4^n-1 . sin(n*pi /2 )

on s'occupe de sin(n*pi/2)

si n pair, n=2*p dc on a sin(2*p*pi/2)=sin(p*pi) et comme p est entier, c'est égal à 0

si n est impair, n=2*p+1 dc on a sin ((2*p+1)*pi/2)=sin(p*pi+pi/2)=cos(p*pi)=

(-1)^p

je te laisse finir !

[Tubis]

merci beaucoup j'ai fini , t'es génial elp au faite t'as quel age et t'es en quel classe ??