Aide Barycentre

[Miss-Alyce]

Voilà, j'ai un petit exos à faire pour demain mais je ne comprend pas vraiment...

ABC Triangle. I barycentre de (A,1)(B,2) et J barycentre de (B,1)(C,2).

M barycentre de (A,1)(B,2)(C,4)

M' milieu de [AM] et M" milieu de [bM']

1. Construire I et J (-> Je trouve AI=2/3AB et BJ=2/3CB)

2. Montrer que M est le barycentre du système de points pondérés (A,1)(J,6) et aussi de (I,3)(C,4) (-> Là, je sais ce qu'il faut faire mais je ne sais pas comment faire pour rédiger correctement : il faut utiliser la propriété d'associativité pour la première et pour la seconde dire que I bay (A,1)(B,2) donc (I,6) mais comment rédiger )

4. On se propose de démontrer que M est le milieu de [CM"] et que I, M, M" et C sont alignés :

a) Ecrire en justifiant la réduction de MB+MM', puis celle de 2MC+MB (en vecteurs!)

B) En déduire que MM"+MC=0. Conclure

(-> Ici, je ne vois pas trop à part que si M milieu de [CM"] alors M, M", C alignés...)

5. G centre de gravité de ABC. Montrer qu'il est aussi celui de MM'M".

Voilà, merci de m'aider...

[elp]

1) en vecteurs (on ne sait pas écrire les --->)

AI=(2/3)AB et BJ=(2/3)BC donc on peut placer les points

M bary de {(A,1) (B,2) (C,4)} et I bary de {(A,1) (B,2)} donc M bary de {(I,3) (C,4)} car :

On ne modifie pas le barycentre d’un système de points pondérés en remplaçant plusieurs points pondérés de ce système par leur bary (s’il existe) affecté d’une masse égale à la somme de leurs masses.

J bary de {(B,1) (C,2)} dc J bary de {(B,2) (C,4)}

M bary de {(A,1) (B,2) (C,4)} et J bary de {(B,2) (C,4)} donc M bary de {(A,1) (J,6)}

M’’ milieu de BM’ dc MB+MM’=2MM’’

2MC+MB=2MJ+2JC+MJ+JB=3MJ+2JC+JB=3MJ+0 car J bary de {(B,1) (C,2)}

on a dc 2MC=3MJ-MB

calculons 2MM’’+2MC

on trouve MB+MM’+3MJ-MB=MM’+3MJ

mais MA+6MJ=0 car M bary de {(A,1) (J,6)} et MA=2MM’ car M’ milieu de AM

dc 2MM’+6MJ=0 dc MM’+3MJ=0 ce qui prouve que 2MM’’+2MC

=0 dc que MM’’+MC=0 dc M milieu de CM ‘’

M,C,M’’ st dc alignés et

M bary de {(I,3) (C,4)} dc M,C,I alignés dc 4 pts alignés

G ctre de Gravité de ABC dc GA+GB+GC=0

On calcule GM+GM’+GM’’

On a GM+GM’+GM’’=GM +(GA+GM)/2 +(GB+GM’)/2 car M’ milieu de AM et M’’ milieu de BM’

GM+GA/2+GM/2+GB/2+GM’/2

On remplace GM’ par (GM+GA)/2 car M’ milieu de AM (je n’écris pas tous les calculs)

On trouve alors (7/4)GM+(3/4)GA+GB/2 (résultat 1)

On sait que M bary de {(A,1) (B,2) (C,4)} dc pour tout pt (et en particulier pour G) :

(1+2+4)GM=1GA+2GB+4GC

dc 7GM=1GA+2GB+4GC

dc (7/4)GM=GA/4+2GB/4+4GC/4

on remplace (7/4)GM par cela ds résultat 1 et on trouve GA+GB+GC dc vecteur nul dc

GM+GM’+GM’’=0 et G est le c de gravité de MM’M’’

[Miss-Alyce]

Merci beaucoup

[Miss-Alyce]

M’’ milieu de BM’ dc MB+MM’=2MM’’

[elp]

Peux tu redétailler cette étape là stp ??

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