Dm 4ème

[Sébastien]

bonjour, j'ai un dm à faire pour vendredi mais la partie géométrie me pose quelques problémes.

C et C' sont deux cercles de même centre O qui ont respectivement comme rayons 3cm et 1.5cm.

A et B sont deux points de C tels que AB=5cm.

les segments [OA] et [OB] coupent C' en A'etB'.

-fais une figure : ok

-que peux tu dire des droites (AB) et (A'B') ? explique pourquoi

elles sont parallèles, mais je ne sais pas quelles propriétés utiliser.

ODE est un triangle tel que DE=4cm

P est le symétrique de O par rapport à D

R est le symétrique de O par rapport à E

que peut(on dire des droites (PR) et (DE) ?

elles sont parallèles aussi mais pourquoi ?

seules ces deux questions m'embêtent, merci d'avance pour votre aide.

[Mr.Maraudeur]

Bonsoir.

- exercice 1 :

méthode : il suffit de remarquer que les triangles AOB et A'OB' sont en situation de Thalès et d'utiliser la réciproque du théorème de Thalès, en montrant que le quotient OA'/OA=OB'/OB.

Rédaction de la solution :

D'après la réciproque du théorème de Thalès, Dans un triangle ABC, si les points A, D, B sont alignés dans cet ordre, si les points A, E, C sont alignés dans cet ordre et si, de plus, les rapports AD/AB et AE/AC sont égaux alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles. (récitation par coeur du théorème que tu as dans ton cours)

Appliquons le théorème à l'exercice : le triangle ABC du théorème correspond au triangle ABO de l'exercice et les points D et E correspondent aux points A'et B'de l'exercice.

A,A',O sont alignés par hypothèse

B,B',O sont alignés par hypothèse

donc si OA'/OA=OB'/OB (E1), alors les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.

Or on sait que :

A est sur le cercle C de rayon 3 et de centre O par hypthèse, d'où OA=3

B est sur le cercle C de rayon 3 et de centre O par hypthèse, d'où OB=3

A' est sur le cercle C' de rayon 1.5 et de centre O par hypthèse, d'où OA'=1.5

B' est sur le cercle C' de rayon 1.5 et de centre O par hypthèse, d'où OB'=1.5

(E1) devient donc en remplaçant par les valeurs numériques :

3/1.5=3/1.5

or cette proposition est vraie donc les droites (OA) et (OB) sont parallèles.

Exercice 2 : Exactement la même méthode, que je rédige quand même pour que tu comprennes bien.

méthode : il suffit de remarquer que les triangles ODE et OPR sont en situation de Thalès et d'utiliser la réciproque du théorème de Thalès, en montrant que le quotient OA'/OA=OB'/OB.

Rédaction de la solution :

D'après la réciproque du théorème de Thalès, Dans un triangle ABC, si les points A, D, B sont alignés dans cet ordre, si les points A, E, C sont alignés dans cet ordre et si, de plus, les rapports AD/AB et AE/AC sont égaux alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles. (récitation par coeur du théorème que tu as dans ton cours)

Appliquons le théorème à l'exercice : le triangle ABC du théorème correspond au triangle APR de l'exercice et les points D et E correspondent aux points D et E de l'exercice.

Par hypothèse, P est le symétrique de O par rapport à D donc O,D,P sont alignés par définition.

Par hypothèse,R est le symétrique de O par rapport à E donc O,E,R sont alignés par définition.

donc si OD/OP=OE/OR , alors les droites (DE) et (PR) sont parallèles.

P est le symétrique de O par rapport à D donc OD=1/2OP par définition.

R est le symétrique de O par rapport à E donc OE=1/2OR par définition.

OD/OP=1/2 (1)

OE/OR=1/2 (2)

de (1) et (2) on déduit que OD/OP=OE/OR, donc les droites (DE) et (PR) sont parallèles.

Pour résumer, lorsque tu es dans une situation telle que tu as :

deux droites sécantes D et D',

deux points suplémentaires sur chacune des deux droites A et B,

deux droites parallèles passant par ces points A et B,

tu dois utiliser le théorème de Thalès (ou sa réciproque).

METHODOLOGIE GENERALE POUR LA REDACTION DE LA SOLUTION, de la maniere la plus scientifique possible :

1- tu énonces le théorème.

2- a/ tu énonces les variables(les éléments qui varient dans le théorème : les noms des points, des droites etc...) qu'il faut changer au théorème pour avoir celles de l'exercice.

b/ tu réécris le théorème (différemment) avec les variables modifiées.

(plus tard dans tes études, tu pourras directement annoncer le théorème et les changements de variables en une seule phrase, et il ne sera plus nécessaire de réécrire le théorème avec les variables modifiées, mais pour l'instant ne brûle pas les étapes, d'autant que tu as le temps de bien rédiger puisque c'est à faire à la maison) exemple de ce que tu pourras faire : "appliquons le théorème de Pythagore, avec AB=x et AC=y " et cette phrase correspond aux 2 étapes précitées.

3- tu appliques le théorème (numériquement, à savoir en remplaçant par les valeurs des nombres, tu résous et tu conclues sur la question posée.

[elp]

A' est un point du segment [OA]

OA'=1.5 cm car A' point du cercle C' de rayon 1.5 cm

OA= 3 cm car A point du cercle C de rayon 3 cm

(Tout celà est donné ds l'énoncé)

On en déduit que A' est le milieu de [OA]

De la même façon, on démontrerait que B' est le milieu de [OB].

On considère maintenant le triangle OAB:

A' milieu de [OA]

B' milieu de [OB]

théorème: dans un triangle, une droite qui passe par es milieux de 2 côtés est parallèle au 3ème côté.

Conclusion: (A'B') est parallèle à (AB).

Indications pour l'autre exercice:

dire que P est le sym de O par rapport à D revient à dire que D est le milieu de [OP].

Que peux-tu dire de E ?

Considère le triangle POR, les pts D et E et pense au th de l'ex précédent.

[Mr.Maraudeur]

En effet, Elp a raison, on peut utiliser le théorème de Thalès dans le cas particulier où la droite parallèle à (CB) coupe précisément [AB] et [AC] en leur milieu. On appelle cela le théorème des milieux. Toutefois je ne suis pas sûr que cela apparaisse dans le programme de 3e, j'ai donc donné le théorème général.