DNS MATH TERM S URGENT POUR VENDREDI!!!!!!

[koala006]

salu je suis en term S et j'ai cet exo à faire et je comprend pa grand chose!!ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'aider!!!même si c'est juste pour répondre qu'à une ou deux questions répondez moi ça pourrait sûrement m'aider pour la suite de l'exo!merci d'avance! voici l'exo:

EXERCICE : SOMME DES INVERSES DES CARRES

(^ : ce signe signifie puissance et p ca signifie pi)

Le but de ce problème est d’étudier la limite de la suite de terme général :

Un= 1/1^2 + 1/ 2^2 + … + 1/n^2 (n + gran ou = à 1)

A)Expression de Un à l’aide d’une intégrale :

1)Calculer l’intégrale J = int (0 ; p) ( ( t^2/2p ) – t ) dt

2) On pose, pour tout k + gran ou = à 1 : K = int (0 ; p ) ( ( t^2/2p) – t ) cos ktdt

A l’aide de deux intégrations par parties successives, montrer que K = 1/ k^2

3)On pose, pour tout t de [0 ;p] et n + gran ou = à 1 : Dn(t) = ½ + cost + cos2t + … + cosnt

Déduire des questions précédentes l’égalité : Un = p^2 / 6 + int (0 ; p ) ( ( t^2/2p) – t) Dn(t)dt

B)Etude de l’intégrale In = int (0 ;p) ( (t^2/2p ) – t) Dn(t)dt

1)a) Vérifier que, pour tous réels a et b : 2sinbcosa = sin (a+B) – sin (a-B)

B) On considère la fonction g définie sur [0 ; p ] par g(0) = -1 et, si t non nul , g(t) = (((t^2/2p) – t) / (2sin (t/2))) . Montrer que g est continue en 0.

c) Montrer que, pour tout n + gran ou = à 1 : In = int (0 ; p ) g(t) sin (n + ½ )tdt

2)a) On pose, pour x appartient à ]0 ; p/2 [ , h(x) = sinx/x. Montrer que h est dérivable sur ] 0 ; p/2 [ et que h’(x) est du signe de f (x) = x – tanx

B) Etudier le signe de f (x) en étudiant les variations de f.

c) En déduire que la fonction h est décroissante sur ] 0 ; p/2 [ .

d) Pour tout t appartient à [ 0 ; p ] ,démontrer l’encadrement : g(t) compris entre - p/2 et p/2

3)a) On pose, pour n + gran ou = à 1 : An = int (0 ;p) sin (n + ½)tdt. Calculer An

B) Montrer que, pour tout n + gran ou = à 1 : In compris entre -p/2 An et p/2 An. En déduire la limite de la suite (In)

C)Limite de la suite (Un)

Conclure à l’aide des questions précédentes.

PS: merci encore

[philippe]

bonsoir,

A.

1.

Je pense qu'il est dans tes cordes de trouver -Pi²/3.

2.

quel changement de variable utiliser?

en essayant, tu vas vite t'appercevoir que poser:

u=cos(kt)

v'=t²/(2pi)-t

n'est pas le bon puisque tu fais monter le degré du polynome.

Pour descendre le degré, pose:

u=t²/(2pi)-t donc u'=...

v=cos(kt) donc v=...

après calculs, tu auras une 2ème intégrale à calculer; avec un poly de degré 1 et une fonction circulaire.

Même méthode!

Fais le patiemment mais surement et tu arriveras au bout.

3.

on peut écrire

Dn(t)=1/2+sum(cos(kt),k=1..n)

Je te propose de partir de K=1/k²

alors ...on somme!

sum(K,k=1..n)=sum(1/k²,k=1..n)

remplace 1/k² par l'intégrale...

remarque : tu es autorisée à passer le signe somme dans l'intégrale puisque c'est une somme finie)

Fais déjà ça et on en reparle

[philippe]

B.

1a. Montrer que sin(a+B)-sin(a-B)=2sin(b)cos(a)

utilise les formules de trigo

1b. une histoire de limite en 0.

g(t)=(t/2)/sin(t/2).[t/(2pi)-1]

sachant que lim(sin(X)/X,X,0) est connue...

1.c on doit montrer que

int((t²/(2pi)-t)Dn(t),t=0..pi)=int(g(t).sin[(n+1/2)t],t=0..pi)

cad

sin[(n+1/2)t]/[2sin(t/2)]=Dn(t)

cad

sin[(n+1/2)t]=2sin(t/2).Dn(t)

développe le 2nd membre et utilise 1.a...

le résultat apparait car des termes disparaissent dans la somme

2a. pas très dur

ré exprime ta dérivée en faisant apparaitre x-tan(x)

2b. etude de fonction classique

2c. conséquence immédiate des rép précédentes

2d. On veut montrer que |g(t)|<pi/2

or g(t)=(t/2)/sin(t/2).[t/(2pi)-1]

on utilise l'étude de h.

montrer que |t/(2pi)-1|<1 n'est pas si compliqué

3a. c'est du calcul intégral

3b. utiliser 2d.

et théorème sur limites

3c.avec A3, Un=pi²/6+In

le résultat est immédiat.

conclusion : lim(sum(1/k²,k=1..n),n,oo)=...

remarque : on peut noter sum(1/k²,k=1..oo)

n'hésite pas si pb

[philippe]

remarque sur B1c.

on demande de montrer que int(g(t)sin(n+1/2)t) =int( (t²/(2pi)-t)Dn(t))

on peut donc se poser la question de savoir si (par hasard):

g(t)sin(n+1/2)t = (t²/(2pi)-t)Dn(t)

et c'est le cas dans notre problème.

MAIS : ceci n'est pas une règle!

int(f)=int(g) n'implique absolument rien sur f et g, et en particulier que f=g.

Donc attention aux conclusions hâtives là dessus!

Exemple : int(t,t=0..1)=int(3/2t²,t=0..1)=1/2

on voit bien que les fonctions sont différentes

Par contre : si f=g sur un intervalle alors (oui), int(f)=int(g)

(mes notations sont très rapides mais j'espère que tu as compris)