Exercice de mathématiques sur les Limites d'un quotient

[Tsukasa]

Bonjour,

J'ai un exercie de mathématiques sur les limites.

soit f (x) = (x^3 - 8x - 3) / (9 - x^2)

Calculer la lim en - 3 , la lim en +3 , la lim en + inf

Le pb c'est que je tombe toujours sur une opération impossible à savoir la division par zéro et ceux même en factorisant.

Là j'ai plus de solution à essayer donc si quelqu'un peux me dire comment faire.

Merci

[drfaustchimie]

ca donne limite de X en un point que que tu veux.

Car tu dois appliquer la règle des polynomes, tu prends les plus grands degrés et tu as : X^3/X² = x

voila

[Tsukasa]

Ok jy avais pas pensé

super rapide la réponse

Merci beaucoup

[philippe]

supplément:

une des premières choses à faire pour les calculs de limites d'une fonction f en un pt x0:

tu calcules carrément f(x0) et tu regardes ce qui arrive.

(ce travail est à faire au brouillon)

Prenons ton exemple.

lim en -3:

tu obtiens une forme indéterminée du type -1/0

ça c'est gérable: c'est un infini

Mais lequel?

il faut alors regarder les limites quand x tend vers -3, lorsque x<-3 puis x>-3.

Autrement dit : tu regardes ce qui se passe à gauche et à droite de -3 (trace la courbe et vérifie bien que la fonction "fait un saut" en -3)

(attention aux signes)

lim en 3:

On obtient la forme : 0/0

Dans ces cas là: il y a sûrement une factorisation dans l'air...

Tu auras certainement vu que : 9-x² est factorisable...

vérifie que le numérateur est divisible par 3-x.

calcule ensuite la limite après simplifications.

lim en oo:

C'est la "règle" des termes de plus haut degré.

oui:

lim(a_n.x^n+...+a_0,x,oo)=lim(a_n.x^n,x,oo)

pourquoi?

parce que ceci:

a_n.x^n+...+a_0=x^n[a_n+a_(n-1)/x+...+a_0/x^n]

on a factorisé le tout par x^n.

Quand x tend vers l'oo, tous les termes en italique dans l'expression précédente tendent vers 0.

il restera donc a_n.

Pour un quotient de polynômes, applique cette règle aux numérateur et dénominateur.

Dans ton cas:

lim(f(x),x,oo)=lim(x^3/(-x^2),x,oo)=...

Espérant avoir contribué à un éclairage.

Bonne soirée.

[Tsukasa]

Merci philippe

J'ai bien compris sauf pour -3 par exemple en fait on pren une valeur <-3 par exemple -3.1 et on utilise la calculatrice. Après on fait de même avec >-3 et on aura donc une lim en - 3 avec x<-3 et une en x>-3

C'est bien çà ?

Merci

[philippe]

La calculatrice va te donner, ici, une idée de ce qui se passe.

(ne jure cependant pas toujours par la calculatrice car parfois il y a des surprises)

Reprenons en -3.

Tu as 2 limites à étudier:

A gauche de -3 : on peut dire en -3(-)

A droite de -3 : on peut dire en -3(+)

Au préalable : pour x<>3,

f(x)=-(x²+3x+1)/(3+x)

lim(-(x²+3x+1),x,-3)=-1

Limite à gauche:

lim(x+3,x,-3)=0

or, regarde attentivement: Si x<-3 alors x+3<0

Quand x tend vers -3, x+3 tend vers 0 par valeurs inférieures.

on peut donc écrire:

sachant que x<-3, lim(x+3,x,-3)=0-

voilà donc la situation :

numérateur : -1

dénominateur : 0-

type "1/0" =>la lim est un oo.

Règles des signes : +

La limite de f en -3 est : +oo

Limite à droite:

je te laisse trouver : -oo.

Si tu as d'autres questions, si une chose n'est pas claire, ne pas hésiter à demander.

[philippe]

oui pour la règle des signes.

tu dis:

Y a t il une règle disant "1/0" se traduit par un oo ?

répond toi même:

si X>0,

lim(1/X,X,0)=?

(limite de référence)

remarque :

si lim(f(x),x,x0)=0

alors lim(1/f(x),x,x0)=+oo si f(x)>0 dans un voisinage de x0

et

alors lim(1/f(x),x,x0)=-oo si f(x)<0 dans un voisinage de x0

[Tsukasa]

J'ai compris jusqu'à

type "1/0" =>la lim est un oo.

Règles des signes : +

La limite de f en -3 est : +oo

Y a t il une règle disant "1/0" se traduit par un oo ?

Tu dis règle des signes c à dire que -1 et 0- font - par - donc + c çà ?

Merci

[Tsukasa]

répond toi même:

si X>0,

lim(1/X,X,0)=?

c plus + 00

Merci pour ton aide philippe

Peux tu regarder mon autre post sur les limites et me dire si c'est le bon raisonement pour la fonction avec ln x ?

[philippe]

En +oo, ok.

En 0,

f(x)=x-ln(x)*1/x

(f est déf si x>0)

regarde chaque élément:

(ce n'est pas indéterminé)

on cherche la limite à droite en 0 (en 0+ si tu veux)

lim(x,x,0)=0

lim(-ln(x),x,0+)=+oo

lim(1/x,x,0+)=+oo

conclusion :

lim(f(x),x,0+)=+oo

tu vois?

[philippe]

Au passage,

qu'elle est la limite quand x tend vers +oo de [f(x)-x]?

que déduis tu en ce qui concerne la droite d'équation y=x ?

qu'elle est la position de Cf par rapport à cette droite?

Pour le fun! et puis puisque ça tombe toujours au bac, ça fait un petit exo sympa!

:roll:

[Tsukasa]

donc on a 0 - + oo * + oo= + oo

ok

Pour ton exo

Ca je sais faire c'est le comportement asymptomatique

[philippe]

ok alors pour le comportement asymp.

je te corrige:

lim(ln(x),x,0+)=-oo

donc la limite est:

0+-(-oo)*(+oo)=+oo*+oo=+oo

c'est tout!

bon courage pr la suite! 8-)