DNS term S intégral/suite! URGENT!

[koala006]

salu je suis en term S et j'ai cet exo à faire et je comprend pa grand chose!!ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'aider!!!même si c'est juste pour répondre qu'à une ou deux questions répondez moi ça pourrait sûrement m'aider pour la suite de l'exo!merci d'avance! voici l'exo:

EXERCICE : SOMME DES INVERSES DES CARRES

(^ : ce signe signifie puissance et p ca signifie pi)

Le but de ce problème est d’étudier la limite de la suite de terme général :

Un= 1/1^2 + 1/ 2^2 + … + 1/n^2 (n + gran ou = à 1)

A)Expression de Un à l’aide d’une intégrale :

1)Calculer l’intégrale J = int (0 ; p) ( ( t^2/2p ) – t ) dt

2) On pose, pour tout k + gran ou = à 1 : K = int (0 ; p ) ( ( t^2/2p) – t ) cos ktdt

A l’aide de deux intégrations par parties successives, montrer que K = 1/ k^2

3)On pose, pour tout t de [0 ;p] et n + gran ou = à 1 : Dn(t) = ½ + cost + cos2t + … + cosnt

Déduire des questions précédentes l’égalité : Un = p^2 / 6 + int (0 ; p ) ( ( t^2/2p) – t) Dn(t)dt

B)Etude de l’intégrale In = int (0 ;p) ( (t^2/2p ) – t) Dn(t)dt

1)a) Vérifier que, pour tous réels a et b : 2sinbcosa = sin (a+B) – sin (a-B)

B) On considère la fonction g définie sur [0 ; p ] par g(0) = -1 et, si t non nul , g(t) = (((t^2/2p) – t) / (2sin (t/2))) . Montrer que g est continue en 0.

c) Montrer que, pour tout n + gran ou = à 1 : In = int (0 ; p ) g(t) sin (n + ½ )tdt

2)a) On pose, pour x appartient à ]0 ; p/2 [ , h(x) = sinx/x. Montrer que h est dérivable sur ] 0 ; p/2 [ et que h’(x) est du signe de f (x) = x – tanx

B) Etudier le signe de f (x) en étudiant les variations de f.

c) En déduire que la fonction h est décroissante sur ] 0 ; p/2 [ .

d) Pour tout t appartient à [ 0 ; p ] ,démontrer l’encadrement : g(t) compris entre - p/2 et p/2

3)a) On pose, pour n + gran ou = à 1 : An = int (0 ;p) sin (n + ½)tdt. Calculer An

B) Montrer que, pour tout n + gran ou = à 1 : In compris entre -p/2 An et p/2 An. En déduire la limite de la suite (In)

C)Limite de la suite (Un)

Conclure à l’aide des questions précédentes.

PS: merci encore

[olivierm34]

pour la question 1, il suffit de déterminer une primitive de t²/2p - t .

Tu trouves alors f(x) = t^3/6p - t²/2 et tu fais f(p) - f(0)

Pour la question 2, utilise les intégrations par parties

tu pose d'abord u'(x)=t²/2p - t et v(x)=cost

d'où u(x)=t^3/6p - t²/2 et v'(x)=-sint

applique alors le théroème d'intégration par parties, repose alors les deux nouvelles fonctions que tu obtient et réaplique le. TU vera tu trouvera K = 1/ k^2

Ca devrait t'aider pour commencer ton exo