Etude D'une Fonction

[el-rital]

bonjour, j'ai un exo à faire pour lundi et il ya une parti qui me pose problème, surtout deux démonstrations :

soit f la fonction définie sur lR par f ( x ) = (2+ cos x )* e^(1-x)

1) Montrer que pour tout x de lR, f ( x ) > 0

ici c'est bon pas de problème

2) a ) Montrer que pour tout x de lR, V2*cos ( x - pi/4 ) = cos x + sin x

j'suis parti de la formule de gauche, j'ai utilisé la formule de duplucation et je trouve sin x + cos x donc pas de problème

b ) en déduire que pour tout x de lR, 2 + cos x + sin x > 0

j'ai demontré en a ) que 1 <ou = 2+ cos x < ou = 3

et comme la fonction sinus est minorée par - 1 on a 0< ou =cos x + sin x + 2 mais ce n'est pas strictement superieur donc je pense qu'il y a une autre methode que je n'ai pas reussi à trouver.

c ) Montrer que f est strictement decroissante sur lR

on passe par la dérivée et on etudie son signe donc ici pas de problème apparent.

3 a) Montrer que pour tout x de lR, e^(1-x) < ou = f ( x ) < ou = 3*e^(1-x)

Alors pour ici je n'ai absolument aucune d'idée, je ne sais pas de où partir.

b ) En déduire les limites de f en + oo et - oo.

ici j'utilise le théorème de comparaison et on trouve les limites de f donc cette question c'est bon

Le 4 je l'ai deja fait donc pas besoin de le mettre, c'est une application du théorème du valeur intermédiaire donc pas de problème.

Pour récapituler ce sont les questions 2 b ) et 3 a ) qui me pose quelque problème

[Matrix_]

salut j'ai regardé vite fait pour 3)a)

-1 cosx 1

-1+2 cosx + 2 1+2

1 * e^(1-x) (cosx+2)e^(1-x) 3*e(1-x)

e^(1-x) f(x) 3*e(1-x)

CQFD !

Cependant à la ligne 3 je sais pas trop comment justifier l'inégalité c'est-à-dire il faut dire que e^(x-1)>0 (ce qui explique pourquoi le signe ne change pas) ou e^(x-1) strictement décroissante mais dans ce cas là je vois pas comment conclure, donc je pencherai plutôt pour >0

[elp]

2b

2+cosx+sinx=2+rac(2)cos(x-pi/4) d'après ce qui a été démontré avant

-1<=cos(x-pi/4)+1

on multiplie les mbres par rac(2) qui est positif

-rac(2)<=rac(2)cos(x-pi/4)<=rac(2)

on ajoute 2 à ts les mbres

2-rac(2)<=2+rac(2)cos(x-pi/4)<=2+rac(2)

2-rac(2) est strictement positif donc tu as ce que tu souhaites.

3a

-1<=cosx<=1

on ajoute 2

1<=2+cosx<=3

on multiplie par e^(1-x) qui est toujours positif

e^(1-x)(2+cosx)e^(1-x)<=3e^(1-x)

A plus

[el-rital]

oui merci, j'avais avançé depuis que j'ai envoyé le post et j'y suis arrivé avec une autre méthode finalement mais merci quand meme, je planche encore sur la 2b par contre

[elp]

je viens de poster pour la 2b.

A plus

[el-rital]

merci elp,

bonne soirée