Exercices Maths Suite + Proba Tl

experiment · le 14 février 2005

Bonjour,

afin de préparer notre bac blanc, le prof nous a donné une série d'exercices sur les fonctions, un exercice sur les suites et les proba.

Je bloque complétement sur les deux derniers, je n'arrive à rien.

Pourriez-vous me donner quelques éléments de réponses ainsi que des explications ?

Merci d'avance.

Madame X décide de verser 5000f, chaque année, le 31/12 sur un compte assurance-vie, à partir de 1999. Toutes les sommes déposées sont rémunérées au taux annuel de 5 pour cent, à intérêts composés, ce qui signifie que chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital le 31/12 et produisent à leur tour des intérêts.

On désigne par Cn la capital exprimé en francs dont madame X dispose sur son compte le 01/01 de l'année (2000+n). On a donc C0= 5000.

1-a- Montrer que le capital acquis au 01/01/01 est 10250f.

C'est la seule question que j'ai réussi à résoudre.

b- Etablir que, pour tout entier n positif ou nul:

Cn+1= 1.05Cn + 5000

2-a- On pose un= Cn + 10000, pour n entier non nul.

Etablir une relation entre un+1 et un.

En déduire que la suite (un) est une suite géométrique sont on déterminera la raison et le premier terme.

b- Exprimer un en fonction de n.

c- Montrer que Cn= 105000(1.05)n - 100000.

d- En quelle année le capital acquis dépasse t il 200000f pour la première fois ?

3- On pose:

S= 5000 + 5000(1.05) + 5000(1.05)^2 + ... + 5000(1.05)^19 + 5000(1.05)^20.

Calculer la valeur exacte de S et montrer que S=C20

Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher.

1 boule verte valant 1 point

2 boules bleues valant 2 points chacune

3 boules rouges valant chancune 3 points.

1- On tire au hasard uen boule dans l'urne.

Calculez la probabilité des évènements:

A:" obtenir une boule bleue"

B:" obtenir exactement un point"

C:" obtenir au moins 2 points"

2- On tire successivement sans remise 2 boules dans l'urne.

a- Déterminez le nombre de tirages différents possibles à l'aide d'un arbre ou d'un tableau.

b- Calculez la probabilité des évènements:

D:" obtenir 2 boules de la même couleur"

E:" obtenir exactement 4 points"

F:" obtenir exactement 4 points avec 2 boules de couleurs différentes"

J'ai mis ttes les questions pour que vous ayez une vue d'ensemble.

Merci

anne.bak · le 14 février 2005

EXERCICE 1 QUESTION 1b :

Au départ, on a 5000f.

Chaque année, il y a 5% de plus. A la fin de la première année (le31/12/2000) il y aura 5000 + 5000*5% = 5250f et cette somme sert de capital pour l'année suivante. Au 31/12/2001, il y aura 5250*5% + 5250 sur le compte, etc...

Dans la formule, 5000 est la somme mise au départ et 1,05 correspond à la somme sur le compte plus les 5% (j'espère que c'est pas trop embrouillé :P )

POUR LES PROBAS :

L'urne contient 6 boules non ? (3 rouges +2 bleues +1 verte = 6 boules)

1) P(A) =P(obtenir une boule bleue) = nombre de boules bleues / nombre total de boules = 2/6=1/3.

P(B) = P(obtenir EXACTEMENT un point) = P(obtenir une verte) = nombre de boules vertes / nombre total de boules = 1/6.

P© = P(obtenir AU MOINS 2 points) = P(obtenir 2 points ou 3 points) = 1- P(C barre) = 1 - P(obtenir un point) = 1- P(B) = 5/6.

On pouvait aussi faire le calcul directement sans passer par l'évènement C barre mais en général cela simplifie les calculs.

2) On tire 2 boules SUCCESSIVEMENT et SANS REMISE. Pour la première boule, on a donc le choix parmi 6 boules et pour la seconde, on a le choix parmi 5 boules (car on a retiré la première).

On a donc dans l'urne : V B B R R R. L'arbre est en fichier joint.

Essaie de finir avec l'arbre et demande si je n'ai pas été claire dans mes explications.

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=1015">ARBRE.bmp

ARBRE.bmp

experiment · le 15 février 2005

Bonjour,

merci pour ton aide, mais je n'ai pas réussi à ouvrir ton fichier.

Je suis toujours perdue, je vais essayer de trouver des cours sur le net, nous n'avons pas de livre...

elp · le 15 février 2005

converti en .jpg, est-ce que tu sais l'ouvrir ?

experiment · le 16 février 2005

Oui, c'est bon, merci.

Voilà, ce que j'ai fais au premier exo.

1-b- Cn+1 = 1.05*Cn + 5000

2-a) Un+1 = Cn+1 + 100000 = 1.05 Cn + 5000 + 100000 = 1.05 Cn + 1050000 = 1.05 (Cn + 100000) = 1.05Un

Donc Un est une suite géométrique de raison 1.05 et de premier terme : U1= C1+100000= 110250

2b) Un = U1*(1.05)^n-1 = 110250 * (1.05)^n-1 = 110250/1.05*(1.05)^n

=105000*(1.05)^n

2-C) On a Un = Cn +100000 donc

Cn = Un - 100000 = 105000*(1.05)^n -100000

Ce capital est >200000 f lorsque

105 000*(1.05)^n - 100000>200000

Ce qui donne 1.05^n>300000/105000

d'où n ln (1.05)>ln (300000/105000)

soit n>21.51

d'où n=22

Ce capital sera donc >à 200000 en l'année 2022;

3) S = 5000(1+ 1,05 + 1.05^2 +.......+1;05^20)

S =5000*( 1 - (1.05)^21)/(1-1.05) =

178596,26

On calcule C20 en remplaçant n par 20 dans la question 2C.

On trouve : C20 =105000*(1.05)^20-100000= 178596,26

C'est bien la valeur de S.

Par contre, pour le deuxième je ne comprend toujours pas comment commencer.

elp · le 16 février 2005

les boules sont indiscernables dc elles ont toutes la même proba d'être tirées.

p=cas favorables/cas possibles

pour une bleue: 2/6=1/3

pour avoir un pt exactement, il faut tirer une verte dc 1/6

pour 2 pts au moins :avoir 2 pts ou avoir 3pts dc tirage d'une bleue ou d'une rouge

dc 2/6+3/6=5/6 (ou bien faire comme te le dit Anne.bak en passant par le contraire)

On utilise l'arbre pour la suite.(tu peux écrire le nbre de pts au bout de chaque rameau)

2boules de m couleur: 2vertes ou 2 bleues ou 2 rouges

2 V: 0 (impossible il n'y a qu'une v et on ne remet pas les boules après tirage)

2 B: 1 B et 1 B dc 2/6*1/5=2/30 (on multiplie car c'est ET)

2 R: 1R et 1 R dc 3/6*2/5=6/30

résultat 0+2/30+6/30=....(on ajoute car c'est OU)

avoir 4 pts:

tirages (1V et 1R) ou (1B et 1B) ou (1R et 1 V)

(1/6*3/5)+(2/6*1/5)+(3/6*1/5)=3/30+2/30+3/30=...

avoir 4 pts avec 2 boules de couleurs diff: comme au dessus mais (1B et 1B) est interdit

il reste 3/30+3/30

A plus

anne.bak · le 17 février 2005

merci d'avoir refait l'arbre

Si tu as du mal à voir comment marche l'exo de proba, je te conseille de sortir des crayons de couleurs et d'essayer les différents tirages :P

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