Ppcm - Pgcd - Spé

[el-rital]

bonjour,

n désigne un entier naturel non nul :

a= 6n² + 18n + 12

b= 4n^3 + 12n² + 8n

1) Factoriser a et b

a=6(n+1)(n+2)

b=4n(n+1)(n+2)

2 a ) Démontrer que PGCD ( a ; b ) = 2(n+1)(n+2) * PGCD ( 3 ; 2n )

ca c'est bon j'ai aussi réussi

b ) Déterminer Pgcd ( a ; b ) selon les valeurs de l'entiers naturel n

Donc j'ai dit que n s'écrivait sous 3 formes , 3k ou 3k+1 ou 3k+2 avec k € N

pour n = 3k

PGCD ( a ; b ) = 2(3k + 1 ) ( 3k + 2 ) * PGCD ( 3 ; 6k )

on ordonne tout ca et j'arrive à :

PGCD ( a ; b ) = 6( 9k² + 9k + 2 )

après je ne sais plus trop quoi faire.

-ensuite je dois déterminer le PPCM de a et b selon les valeurs de n

voilà donc un peu d'aide ne serait pas de trop

[el-rital]

bon alors je crois que j'ai réussi :

pour n =3k PGCD ( a; b ) = a

pour n=3k+1 PGCD ( a ; b ) = a/3

pour n=3k+2 PGCD ( a ; b ) = a/3

3 ) En déduire PPCM ( a ; b ) selon les valeurs de n

j'ai pensé a utilisé le théorème :

a*b = PPCM ( a; b ) * PGCD ( a , b ) mais ca me parait assez long alors je voulais savoir s'il n'y avais pas une méthode un peu plus courte

Merci

[elp]

si n multi de 3 alors pgcd(3,2n)=3 et le PGDC est 6(n+1)(n+2)=a

sinon pgdc(3,2n)=1 et PGDC=2(n+1)(n+2)=a/3

donc je trouve comme toi

ensuite ppcm=a*b/pgdc

donc a*b/a=b ou bien a*b/(a/3)=3b

ton idée est bonne , pourquoi dis-tu que c'est long ?

A+

[el-rital]

oui en fait c'est court, en commençant ma méthode j'avais de nouveau introduit les 3k , 3k+1 .....

en fait c'etait pas du tout nécessaire

Merci elp, bonne soirée