équation Différentielle

[el-rital]

bonjour, j'ai un exercice à faire pour la rentrée et je bloque complétement...

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l'équation différentielle (En) : y' + y = [ (x^n)/n! ] * e^(-x)

1) On fait l'hypothèese que deux fonctions g et h, définies et derivables sur R, vérifient, pout tout réel x : g ( x ) = h ( x ) * e^(-x)

a ) Montrer que g est solution de ( en) si et seulement si, pour tout x réel

h' ( x ) = x^n / n!

b ) en déduire la fonctin h associée à une solution g de (En), sachant que h ( 0 ) =0. quelle est la fonction g ?

2 ) Soit lambda une fonction dérivable sur R.

a ) Montrer que lambda est solution de (En) si et seulement si lambda - g est solution de l'équation ( F) : y' + y = 0

B) Résoudre ( F).

c ) Déterminer la solution génerale lambda de l'equation (En)

d ) Déterminer la solution f de l'equation (En) vérifiant f ( 0 ) = 0

Voilà c'est mon exerice et je n'ai pas vraiment beaucoup d'idée surout pour le 1 ) et le 2 a )

[el-rital]

je crois que j'ai réussi à faire le 1 a ) :

g est solution de En ssi g + g' = [ (x^n)/n! ] * e^(-x)

on calcule g'

g' ( x ) = h' ( x ) e^(-x) - h ( x ) e^(-x)

on remplaçe et on mets e^(-x) en facteur

donc : e^(-x) ( h ( x ) + h' ( x ) - h ( x ) ) = [ (x^n)/n! ] * e^(-x)

on simplifie par l'exponentielle et h ( x ) - h ( x ) s'annule

donc g est solution si et seulement si h ' x ) = [ (x^n)/n! ]

mais par contre pour le b je ne sais pas trop vu que je vois meme pas ce qu'est n!

[elp]

n! est factorielle de n

n!=n*(n-1)*(n-2)*.................3*2*1

exemple: 5! = 5*4*3*2*1= 120

6!=6*5*4*3*2*1= 6*120=720

je vais regarder ton exerc tout à l'heure.

A plus

[elp]

ce que tu as fait est bon

h '(x)=x^n/n!

h(x)=x^(n+1)/(n+1)! + K

en effet la dérivée de x^(n+1) est (n+1)*x^n et (n+1)!=(n+1)*n!

h(0)=0 donc K=0

g(x)=[x^(n+1)/(n+1)!]*(e^-x)

II)

on calcule d'abord g'(x)

g'(x)= (x^n/n!)*(e^-x)-[x^(n+1)/(n+1)!]*(e^-x)

j'écris L pour lambda

soit y=L-g, on alors y'=L'-g'

y+y'=L-g+L'-g'=

L+L'-[x^(n+1)/(n+1)!]*(e^-x)-(x^n/n!)*(e^-x)+[x^(n+1)/(n+1)!]*(e^-x)=

L+L'-(x^n/n!)*(e^-x)

y+y'=0 ssi L+L'-(x^n/n!)*(e^-x)=0 donc ssi L+L'= (x^n/n!)*(e^-x)

donc ssi L solution de En

III)

y+y'=0 donc

y=(e^-x) *K

donc L-g=(e^-x) * K

L=g+(e^-x) * K

L=[x^(n+1)/(n+1)!]*(e^-x)+(e^-x) * K

f(0)=0 donne K=0

f(x)=(e^-x)*[x^(n+1)/(n+1)! ]

(calculs à vérifier et rédaction à améliorer !)

A plus

[el-rital]

merci elp,

je n'aurais jamais trouvé seul h ( x )

c'était un exercice qu'il fallait étudier et où l'on devait noté tout ce qui nous posait problème, je crois bien que cette dérivée en fera parti

pour le 2 a ) j'ai cherché de mon coté et j'ai trouvé le résultat en passant par une autre méthode et je voulais savoir si c'était juste: ca ressemble un peu à celle que j'ai fai en 1 a )

L ( lambda donc ) est solution de (En) ssi L' + L = g' + g

> L' + L - g' - g = 0

on regroupe les dérivées : ( L' - g' ) + (L - g ) = 0

soit y = L - g

on a bien L solution de (En) ssi L - g est solution de ( F)

[elp]

c'est bien mais tu vas un peu vite

je dirais:

L sol de En ssi L+L'=[(x^n/n!]*e^-x

on sait que g est une sol de En donc g+g'=[(x^n/n!]*e^-x

on en déduit que L+L'=g+g' et ensuite ça va comme tu as fait:

L-g+L'-g'=0 etc...

Ta méthode évite (en comparaison de la mienne) de faire le calcul de g';

mais il faudra bien rédiger pour bien faire voir la condition nécessaire et suffisante.

Bon courage.

A+