Problème Ensembles

[Carlito]

On considère l'équation d'inconnue (n, m) élément de Z² :

11n - 24m = 1

Déterminer l'emsemble des solutions de l'équation.

la solution sera de la forme : xk+b;yk+c k étant la variable de la solution.

Voila, j'y arrive pas, si qqn a une solution a me soumettre, je suis tout ouï.

Merci d'avance

[philippe]

bonjour,

cas général : ax+by=c

si pgcd(a,B) divise c alors infinité de sol.

sinon : aucune

11n-24m=1 (E)

a une infinité de sol car pgcd(11,24) |1.

solution générale:

soit (n0,m0) une solution particulière

alors: 11n0-24m0=1 (E')

avec (E) et (E'):

11(n-n0)-24(m-m0)=0

11(n-n0)=24(m-m0) (E'')

donc(théo Gauss):

11 | m-m0

24 | n-n0

donc il existe k,k' tq:

n-n0=24k

m-m0=11k'

en reportant ceci dans (E''): k=k'

donc solution générale de (E):

m=m0+11k

n=n0+24k

Solution particulière (algo Euclide):

24=11*2+2

11=2*5+1

donne:

2=24-11*2

11=(24-11*2)*5+1

11=24*5-11*10+1

11+11*10-24*5=1

11*11-24*5=1

solution partic (n0,m0)=(11,5)

Conclusion:

les solutions sont

(11+24k,5+11k) k dans Z.

c'est dimanche, c'est cadeau!

[Carlito]

Merci Merci Merci, c'est super sympa.