Ts Aidez Moi!

[noma1]

J'ai un exo à faire et je n'y arrive pas. Pouvez vous m'aider svp. Merci

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f’ sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :

(1) pour tout nombre réel x, (f’(x)²-(f(x))²=1

(2) f’(0)=1

(3) la fonction f’ est dérivable sur R.

1.a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f’(x) est différent de 0.

b. Calculer f(0).

2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que :

(4) pour tout réel x, f’’(x)= f(x), où f’’ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.

3. On pose u = f’ + f et v= f’ – f

a. Calculer u(0) et v(0).

b. Démontrer que u’=u et v’ = - v

c. En déduire les fonctions u et v.

d. En déduire que, pour tout réel x, f(x) = (e^x – e^-x) / 2

[elp]

il y a une ( en trop ds l'énoncé.

on a f'(x)²-f(x)²=1

1)

a) f'(x)² = 1+f(x)²

le 2ème membre est un carré plus 1 donc ne peut pas être nul et f'(x) donc n'est jamais nul.

b) on remplace x par 0 ds (1)

f'(0)²-f(0)²=1 on utilise (2)

1-f(0)²=1

on a f(0)=0

2)

je simplifie la notation pour gagner du temps

f'²-f²=1

on dérive

2f'f''-2f'f=0

2f'(f''-f)=0

comme f' jamais nul alors (f''-f)=0 et f''=f

3)

a)

u(0)=f'(0)+f(0)=1+0=1

v(0)=f'(0)-f(0)=1-0=1

b)

u=f'+f

u'=f''+f'=f+f' (car f''=f) donc u=u'

v=f'-f

v'=f''-f'=f-f'=-v

c)

si y'=ky alors y=Ae^kx

donc u(x)=Ae^x et v(x)=Be^-x

comme u(0)=1 et v(0)=1 alors A=1 et B=1 et u(x)=e^x puis v(x)=e^-x

d)

u=f'+f

-v=f-f'

donc u-v=f'+f+f-f'=2f

donc f=(u-v)/2

et on trouve ce qui est annoncé ds l'exercice.

[noma1]

Merci pour l'aide. Finalement j'avais réussi à avancer jusqu'au 3. et ton aide pour le fin du 3 m'a bien aider.

Mais je rebloque sur la suite de l'exo:

4.a Etudier les limites de la fonction f en + oo et - oo.

b. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

5. Soit m un nombre réel. Démontrer que l'équation f(x)=m a une unique

solution s dans R.

[elp]

Merci pour l'aide. Finalement j'avais réussi à avancer jusqu'au 3. et ton aide pour le fin du 3 m'a bien aider.

Mais je rebloque sur la suite de l'exo:

4.a Etudier les limites de la fonction f en + oo et - oo.

b. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

5. Soit m un nombre réel. Démontrer que l'équation f(x)=m a une unique

solution s dans R.

<{POST_SNAPBACK}>

[elp]

Réponse rapide et succinte

si x--->+00 alors e^x ---->+00 et e^-x ----->0 donc f(x)---->+00

si x---->-00 alors e^x--->0 et e^-x ---->+00 donc f(x)--->0-(+00)=-00

f'(x)= (e^x - -e^-x)/2=(e^x+e^-x)/2 donc toujours positive

à partir de tout cela tu peux faire ton tableau

f est donc strictement croissante sur lR et comme elle est continue, c'est une bijection de lR sur lR et f(x)=m à une solution unique ds lR (il y a un théorème ds le cours à ce sujet)

<{POST_SNAPBACK}>