Exo de term S sur les intégrales et suite!!aidez moi!!!

[koala006]

Je suis en term S et j'ai un exo de maths d'un DNS à faire et je comprends rien du tout. J'arrive même pas les premières questions!!rien qu'une aide sur les premières questions me serait utile: ça me permetterait peut être de réussir le reste. merci d'avance à ceux qui me réponderont!

voici l'exo:

( ce signe ^ signifie puissance dans mon exercice)

On se propose dans ce problème d’étudier une suite dont la limite est pi/2

Soit n un entier naturel. On pose in = Intégrale entre 0 et pi/2 de sin^n xdx

1. Calculer i0 et i1

2. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout n + grand ou égal à 2, on a :

in = n-1/n . in-2 (1)

(piste : poser u(x)sin^(n-1) x et v’(x) = sin x)

3. En déduire i2, i3, i4 et i5

4. Démontrer par récurrence que :

a) pour n+grand ou égal à 1, i(2n) = 1 x 3 x 5 x … x (2n-1) divisé par 2 x 4 x 6 x … x (2n) multiplié par pi/2

B) pour n + grand ou égal à 1, i(2n+1) = 2 x 4 x 6 x … x (2n) divisé par 1 x 3 x 5 x … x (2n-1) multiplié par 1/ (2n+1)

5. a) Pour x appartient à [0 ; pi/2], comparer sin^(n) x et sin^(n+1) x

En déduire que la suite (in) est décroissante.

B) A l’aide de l’inégalité (1), établir alors l’encadrement :

n / (n+1) x I(n-1) + petit ou égal à in +petit ou égal à i(n-1) , pour n ³+ grand ou égal à 1.

c) En déduire que lim i(2(n+1)) / i(2n) = 1

6. Démontrer la formule de Wallis (mathématicien anglais, 1616-1703) :

Lim wn = pi/2 , avec, pour n + grand ou égal à 1 : wn = [2 x 4 x 6 x … x (2n)] ^2 divisé par [1 x 3 x 5 x … x (2n-1)] ^2 multiplié par 1/ 2(n+1)

7. a) Exprimer w(n+1) en fonction de wn.

B) Déterminer à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de p à 10^-2 près. La convergence semble-t-elle rapide ?

même pour une seule réponse à une seule question ou une simple piste écrivez moi merci

[philippe]

bonsoir,

1. Vérifie:

I_0=int(1,x=0..pi/2)=pi/2

I_1=int(sin(x),x=0..pi/2)=1

2. le changement de variable est donné

u(x)=sin(x)^(n-1) u'(x)=(n-1)sin(x)^(n-2)cox(x)

v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)

donc (ipp): (n>=2)

I_n=[-cos(x)sin(x)^(n-1)]{0,pi/2} + (n-1).int(sin(x)^(n-2).cos(x)²,x=0..pi/2)

puisque cos²+sin²=id

I_n=0+(n-1)I_(n-2)-(n-1)I_n

et on obtient dc la formule demandée.

3. je te laisse faire.

4.a

pour I_(2n):

on peut écrire en cascade grâce à (1):

I_2=1/2I_0

I_4=3/4I_2

...

I_(2n)=(2n-1)/(2n).I_(2n-2)

le produit mbre à mbre donne:

I_(2n)=(1.3....2n-1)/(2.4...2n)I_0

Bien sûr ce résultat doit être démontré car ceci n'est pas une démonstration.

Faire une récurrence.

4.b

Même démo avec I_(2n+1).

5.a

pour comparer sin(x)^(n+1) et sin(x)^n, on peut étudier le signe de leur différence sachant qu'on se trouve dans [0,pi/2].

ça vient tout seul.

puisque 0<=sin(x)^(n+1)<=sin(x)^n (n>=0)

le théorème qui permet "d'intégrer l'inégalité" (je ne sais pas comment tu l'as appelé) donne

I_(n+1)<=I_n

dc la suite (I_n) est décroissante.

5.b

avec ce qui précède on a déjà une partie de l'inégalité.

l'autre:

(1) donne I_(n+1)=n/(n+1).I_(n-1)

or I_(n+1)<=I_n car suite dec

dc n/(n+1).I_(n-1)<=I_n

5.c

utilise l'inégalité précédente.

divise tout par I_(n-1)

pour tomber sur nos pattes, faire : "n=2n+1"

le théorème des gendarmes permet de conclure.

6.

calculer le rapport I_(2n+1)/I_(2n) grâce à 4.a et 4.b

utilise 5.c pour terminer

7. je te les laisse