koala006 Posté(e) le 6 mars 2003 Signaler Posté(e) le 6 mars 2003 Je suis en term S et j'ai un exo de maths d'un DNS à faire et je comprends rien du tout. J'arrive même pas les premières questions!!rien qu'une aide sur les premières questions me serait utile: ça me permetterait peut être de réussir le reste. merci d'avance à ceux qui me réponderont! voici l'exo: ( ce signe ^ signifie puissance dans mon exercice) On se propose dans ce problème d’étudier une suite dont la limite est pi/2 Soit n un entier naturel. On pose in = Intégrale entre 0 et pi/2 de sin^n xdx 1. Calculer i0 et i1 2. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout n + grand ou égal à 2, on a : in = n-1/n . in-2 (1) (piste : poser u(x)sin^(n-1) x et v’(x) = sin x) 3. En déduire i2, i3, i4 et i5 4. Démontrer par récurrence que : a) pour n+grand ou égal à 1, i(2n) = 1 x 3 x 5 x … x (2n-1) divisé par 2 x 4 x 6 x … x (2n) multiplié par pi/2 B) pour n + grand ou égal à 1, i(2n+1) = 2 x 4 x 6 x … x (2n) divisé par 1 x 3 x 5 x … x (2n-1) multiplié par 1/ (2n+1) 5. a) Pour x appartient à [0 ; pi/2], comparer sin^(n) x et sin^(n+1) x En déduire que la suite (in) est décroissante. B) A l’aide de l’inégalité (1), établir alors l’encadrement : n / (n+1) x I(n-1) + petit ou égal à in +petit ou égal à i(n-1) , pour n ³+ grand ou égal à 1. c) En déduire que lim i(2(n+1)) / i(2n) = 1 6. Démontrer la formule de Wallis (mathématicien anglais, 1616-1703) : Lim wn = pi/2 , avec, pour n + grand ou égal à 1 : wn = [2 x 4 x 6 x … x (2n)] ^2 divisé par [1 x 3 x 5 x … x (2n-1)] ^2 multiplié par 1/ 2(n+1) 7. a) Exprimer w(n+1) en fonction de wn. B) Déterminer à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de p à 10^-2 près. La convergence semble-t-elle rapide ? même pour une seule réponse à une seule question ou une simple piste écrivez moi merci
philippe Posté(e) le 6 mars 2003 Signaler Posté(e) le 6 mars 2003 bonsoir, 1. Vérifie: I_0=int(1,x=0..pi/2)=pi/2 I_1=int(sin(x),x=0..pi/2)=1 2. le changement de variable est donné u(x)=sin(x)^(n-1) u'(x)=(n-1)sin(x)^(n-2)cox(x) v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x) donc (ipp): (n>=2) I_n=[-cos(x)sin(x)^(n-1)]{0,pi/2} + (n-1).int(sin(x)^(n-2).cos(x)²,x=0..pi/2) puisque cos²+sin²=id I_n=0+(n-1)I_(n-2)-(n-1)I_n et on obtient dc la formule demandée. 3. je te laisse faire. 4.a pour I_(2n): on peut écrire en cascade grâce à (1): I_2=1/2I_0 I_4=3/4I_2 ... I_(2n)=(2n-1)/(2n).I_(2n-2) le produit mbre à mbre donne: I_(2n)=(1.3....2n-1)/(2.4...2n)I_0 Bien sûr ce résultat doit être démontré car ceci n'est pas une démonstration. Faire une récurrence. 4.b Même démo avec I_(2n+1). 5.a pour comparer sin(x)^(n+1) et sin(x)^n, on peut étudier le signe de leur différence sachant qu'on se trouve dans [0,pi/2]. ça vient tout seul. puisque 0<=sin(x)^(n+1)<=sin(x)^n (n>=0) le théorème qui permet "d'intégrer l'inégalité" (je ne sais pas comment tu l'as appelé) donne I_(n+1)<=I_n dc la suite (I_n) est décroissante. 5.b avec ce qui précède on a déjà une partie de l'inégalité. l'autre: (1) donne I_(n+1)=n/(n+1).I_(n-1) or I_(n+1)<=I_n car suite dec dc n/(n+1).I_(n-1)<=I_n 5.c utilise l'inégalité précédente. divise tout par I_(n-1) pour tomber sur nos pattes, faire : "n=2n+1" le théorème des gendarmes permet de conclure. 6. calculer le rapport I_(2n+1)/I_(2n) grâce à 4.a et 4.b utilise 5.c pour terminer 7. je te les laisse
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