Polynômes D’interpolation De Lagrange

[anglieto]

comme quelquun la fait remarquer, j'ai oublié d'être poli.

désolé, je suis désolé, vraiment...

donc voilà, j'ai un exo de maths à faire, mais c'est la galère.... ( ça rime )

alors svp, aidez moi, j'ai trop du mal...

1. Soit a, b, c, 3 réels deux à deux distincts, alfa, bêta, y, 3 réels donnés.

Montrer qu’il ne peut pas exister 2 polynômes P et Q distincts, de degré 2 ou plus, et vérifiant :

P ( a ) = Q ( a ) = alfa.

P ( b ) = Q ( b ) = bêta.

P ( c ) = Q ( c ) = y.

2. On considère les 3 polynômes :

L1 ( x ) = ( x-b )( x-c ) / ( a-b )( a-c )

L2 ( x ) = ( x-c )( x-a ) / ( b-c )( b-a )

L3 ( x ) = ( x-a )( x-b ) / ( c-a )( c-b )

a). Déterminer L1 ( a ), L1 ( b), L1 ( c ), L2 ( a ), L2 ( b ), L2 ( c ), L3 ( a ), L3 ( b ), L3 ( c ).

b). On pose P = alfaL1 + bêtaL2 + yL3.

Déterminer P ( a ), P ( b ), P ( c ), et vérifier que deg P£2.

3. énoncer un résultat général, établi dans les questions 1. et 2. ( le polynôme défini en 2.b) est le polynôme de Lagrange associé aux nombres a, b, c. la méthode se généralise à plus de 3 coefficients. )

voilà, merci beaucoup et bizz à tous....

[elp]

ds le 1, ça ne serait pas "de degré 2 AU plus" ?

Je pose R(x)= P(x)-Q(x)

R(a) = P(a)-Q(a) =0 puisque P(a)=Q(a) par hypothèse.

On peut donc mettre(x-a) en facteur ds R(x).

on raisonne de la même façon en utilisant b et c comme valeurs de x.

On a alors R(x)=(x-a)(x-B)(x-c)Z(x) où Z(x) est un polynome.

finalement P(x)-Q(x)=(x-a)(x-B)(x-c)Z(x)

Si P et Q sont de degré 2 au plus alors leur différence aussi mais ds le 2ème membre on a Z(x) multiplié par 3 facteurs de degré 1 donc le 2è membre est au moins de degré 3, on en déduit que Z =0 et donc que P=Q

il suffit de remplacer x par a puis b puis c

on trouve L1(a)=1 L1(B)=L1©=0

L2(a)=0 L2(B)=1 L2©=0

L3(a)=L3(B)=0 L3©=1

pour le b: on utilise cela pour calculer Pa), P(B) P©

tu vas trouver alpha, beta et gamma. Je te laisse le soin de faire les calculs.

il suffit maintenant de trouver le coeff de x² dans P(x) trouvé au dessus

(a,alpha) (b,beta) et (c,gamma) peuvent être considérés comme les coordonnées de 3 pts du plan.

on vient de montrer qu'il existe une seule courbe de degré 2 qui passe par ces 3 points.

Par n points du plan il passe une seule courbe polynomiale de degré (n-1)

j'espère que ces explications t'aideront ds ton travail.

Bon courage.

[elp]

il faut lire b à la place des émoticones, je me demande pourquoi il y a ça à laplace des b !!

désolé !