A Laide

[louisa]

f et g sont deux fonctions derivables sur R ki verifient les propriété suivantes

1/ pour tout reel x, (f(x)²)-(g(x)²)=1

2/ , f(x)=g'(x)

3/f(0)=1

1Demontrer que pour tout x reel x, f(x) est diffeent de 0

Calculer G(0)

2En derivant chaque menbre de l'egalité de la proposiation (1) demontrere qu pour tout reelx , g(x)=f'(x)

3On pose u=f+g et v=f-g

calculer u(0) et v(0)

Demontrer que u'=u et v'=-v

Determiner les fonction u et v

En deduire les expression de f(x) et g(x)

Au secours aidez moi parce ke je comprend rien

Merci

[elp]

f et g sont deux fonctions derivables sur R  ki verifient les propriété suivantes

1/ pour tout reel x, (f(x)²)-(g(x)²)=1

2/                       , f(x)=g'(x)

3/f(0)=1

1Demontrer que pour tout x reel x, f(x) est diffeent de 0

Calculer G(0)

2En derivant chaque menbre de l'egalité de la proposiation (1) demontrere qu pour tout reelx , g(x)=f'(x)

3On pose u=f+g et v=f-g

calculer u(0) et v(0)

Demontrer que u'=u et v'=-v

Determiner les fonction u et v

En deduire les expression de f(x) et g(x)

Au secours aidez moi parce ke je comprend rien

1)f(x)² = 1 +g(x)²  un carré est toujours à 0 donc 1 + g(x)² est 1 donc f(x)² ne peut valoir 0 donc f(x) est différent de 0 (tout cela quel que soit x)

f(0)² + g(0)² = 1 or f(0) = 1 donc g(0) = 0

2) on dérive

2*f'(x)*f(x) - 2*g'(x)*g(x) = 0

on remplace g'(x) par f(x) et on divise par 2, on a f'(x)*f(x) - f(x)*g(x) = 0

donc f(x) * ( f'(x)-g(x))=0

on sait que f(x) n'est pas nul donc f'(x) - g(x) =0 et f'x)=g(x)

3) u(0) = f(0) + g(0) = 1 + 0 = 1 (en utilisant unes des hypothèses et un résultat démontré avant)

v(0) = f(0)-g(0) = 1

u = f+g

donc u' = f' + g' = g + f (hyp + résultat démo avant) donc u' = u

v= f-g donc v' = f'-g' = g - f = -v

u'=u donc u = exp (x) + K et comme  u(0) =1 on a K=0

v'= -v donc v = exp (-x) + H et comme v(0) = 1 on a H =0

f+g = u

f-g = v

on en déduit que f = (u+v)/2

g(x)= (u-v)/2 donc f = (exp(x) + exp(-x))/2 et g(x) = (exp(x)-exp(-x))/2

Merci

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