Bonsoir à tous,
J'ai un souci avec un exercice sur la somme de variables aléatoires et je n'arrive pas à résoudre cette question
Voici l'énoncé :
au rez de chaussée d' un immeuble de n étages huit personnes entrent dans un ascenseur.
on suppose que chaque personne descend à un étage donné avec la probabilité 1/n et que personne n'entre dans l'ascenseur aux étages.
soit X la variable aléatoire qui, à une montée de l'ascenseur, associe le nombre d'arrêts qu'il effectue aux étages.
Pour i entier compris entre 1 et n, on appelle Xi la variable aléatoire égale à 1 si l'arrêt à l'étage i a été demandé, et 0 sinon.
1. on suppose que n est égal à 4
a. justifier que P(X1=0) = 0.75^8
b. en déduire P(X1=1)
c. Déterminer P(X2=0), puis P(X2=1).
2.dans cette question, n est un entier naturel non nul.
a. déterminer P(Xi=0) pour tout entier naturel i non nul.
b. calculer E(Xi) en fonction de n
d. en déduire que E(X) = n(1-(1-1/n)^8)
e. déterminer le nombre minimum d'étages que doit avoir cet immeuble de sorte que l'espérance du nombre d'arrêts soit inférieure à la moitié du nombre d'étages.
ce que j'ai fait :
1) Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès (= 8 personnes entrent dans l’ascenseur) quand n répète n=0 fois dans la même épreuve de Bernouille : P(X1 = 0) = (8 0) * (1/4)^0* (3 /4)^8 = 0.100112915 = 0.75^8
2) Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès (=8 personnes entrent dans l’ascenseur) quand n répète n=1 fois dans la même épreuve de Bernouille : P(X1 = 1) = (8 1) * (1/4)^1* (3 /4)^8-1 = 0.2669677734
