Multiple De 19 (congruences..)

[sttella007]

Voilà, j'ai un exercice a rendre jeudi et je suis bloquée.

Le sujet:

" Le but de cet exercice est de prouver que, pour tout entier naturel n , l'entier N = ((2)^2)^(6n+2)) + 3 est un multiple de 19.

1) verifier que cette affirmation est vraie pour n = 0

là je l'ai fait, et ca me donne N= 4^2 + 3 = 19 donc multiple de 19

2) Verifier que 2^6 "congrus à" 1 (mod 6)

et en deduire qu'il existe un reel k tel que 2^(6n) = 9k + 1

là aussi j'ai reussi a le montrer: 64= 7 * 9 +1 donc congru à 1 (mod 9)

et (2^6)^n "congrus à" 1^n (mod 9)

d'ou (2^6)^n = 9k + 1

3)A l'aide des congruences, determiner le reste de la division euclidiene de 2^18 par 19.

4) En utilisant les questions 2) et 3), prouver l'affirmation précédente pour tout n.

Je suis bloquée pour les deux dernieres questions

Si l'un de vous pouvez m'aider ce serait super

merci d'avance

[did75]

Pour le 3) tu y va doucement en calculant les puissances successives de 2

(j'emploie == pour "congru à")

2^2=4, ...

2^5=32==13 (mod 19)

2^6==2x13=26==7 (mod 19)

Puis on peut aller un peu plus vite:

2^12=(2^6)^2==7^2=49==11 (mod 19)

2^18=2^6x2^12==7*11=77==1 (mod 19)

Donc la réponse est 1.

Pour le 4) je pense qu'il y a une erreur dans ta formule de départ (3 parenthèses ouvertes et 4 fermées). Par ailleurs si c'était ((2)^2))^(6n+2) celà donnerait

2^(2x(6n+2))=2^(12n+4) ce qui est assez simple et ne néssécite pas les calculs précédents. Je pense plutôt que ce doit être quelque chose comme

2^(2^(6n+2)) + 3 mais c'est à vérifier ...

[sttella007]

je te remercie d'avoir répondu;

la formule de départ est N= 2^(2^(6n+2)) + 3

(en fait, ca donne "2 au carré le tout à la puissance (6n+2) + 3"

voilà voilà

merci encore