Suites Géométrique

[789mous]

voila mon probleme c'est un exo d'un DM que je doit rendre apres les vacances. En général j'ai pas trop de mal avec les maths mais là c'est un probleme qui me parait tres louche.

Voila l'énoncer.

J'ai besoin d'aide surtout pour comprendre comment trouver la suite Pn .

merci d'avance

[789mous]

voila ce que j'ai fait c'est assez mince je trouve

aidez moi svp !

[789mous]

svp g vraiment besoin d'aide

[philippe]

bonjour

1-calculs faciles

2-

étape1: p(1)=1, c(1)=5/2

étape2: p(2)=3, c(1)=5/4

étape3: p(3)=9, c(1)=5/8

étape4: p(4)=27, c(1)=5/16

...

voyons ça de plus près:

étape1: p(1)=1, c(1)=5/2

étape2: p(2)=3^1, c(1)=5/2^2

étape3: p(3)=3^2, c(1)=5/2^3

étape4: p(4)=3^3, c(1)=5/2^4

...

on voit que à l'étape n:

étape n: p(n)=3^(n-1) , c(n)=5/2^n

on montre facilement que (pn) et (cn) sont géométriques:

p(n+1)/p(n)=3 et c(n+1)/c(n)=1/2 (indep de n)

p(1)=1, c(1)=5/2

aire d'un triangle à l'étape n:

aire=base*hauteur/2=cn²/2=25/4^n

aire des pn triangles à l'étape n:

bn=pn*25/4^n=3^(n-1)*25/4^n=25/6*(3/4)^n

aire totale des triangles à l'étape n:

a(n)=b(1)+b(2)+...+b(n)

=25/6*3/4[1+3/4+(3/4)^2+...+(3/4)^(n-1)]

=25/6*3/4[1-(3/4)^n]/[1-3/4]

=25/2*[1-(3/4)^n]

rappel : 1+q+q²+...+q^(n-1)=(1-q^n)/(1-q) pour q<>1

je te laisse la suite, c'est pas sorcier!

on cherche a pour que u(n)=a(n)-a soit géométrique.

alors il existe q<>0 tel que u(n+1)=q.u(n)

soit a(n+1)-a=q[a(n)-a]

3/4a(n)+25/8-a=q.a(n)-q.a

donc

3/4a(n)=qa(n) et 25/8-a=-q.a

donne q=3/4 et a=25/2

vérifie que

a(n+1)-25/2=3/4*[a(n)-25/2]

la suite (u(n))=(a(n)-25/2) est donc géométrique de raison q=3/4 et de 1er terme u(1)=a(1)-25/2=3*25/8

autrement dit

u(n)=u(1)*(3/4)^(n-1) (toujours pour n>0)

donc

a(n)-25/2=3*25/8*(3/4)^(n-1)

donc

a(n)=25/2*[1-(3/4)^n]

puisque 3/4<1 alors

limite((3/4)^n,n-->oo)=0

et par suite

limite(a(n),n-->oo)=25/2

c'est l'aire du triangle initial

autrement dit tous les triangles ont tendance à recouvrir totalement le triangle de base.

[789mous]

j'te dis un grand merci je vais reessayer de le faire.