développement limité avec une intégrale

[est01]

Bonjour à toutes et tous, pourriez-vous, s'il vous plaît m'aiguiller pour cet exercice (même si ce n'est pas niveau lycée).

 

Soit F(x)=1/x*intégrale de 0 à x^2 de 1/sqrt(1+t^2)dt.

1) Soit G(x)=xF(x). Montrer que G est de classe C1 sur R et calculer G'.

2) Montrer que G admet un développement limité en 0 à l'ordre 6 et le préciser.

 

Pour la question 1, j'ai réussi, je trouve G'(x)=2x/sqrt(1+x^4)

En revanche, pour la question 2, je ne vois pas d'où partir. Est-ce que je dis que G est une primitive de G' et donc je donne un DL à l'ordre 5 de G' puis par primitivation on aura un DL à l'ordre 6 de G? 

Après j'ai une 3ème question (en déduire que F est prolongeante par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en ). Ça je sais faire, mais il me manque juste la question 2.

 

Merci d'avance,

Bon week-end

[Invité]

Bonjour,

Vous avez changé de pseudo depuis hier ?

Si on vous fait calculer G' c'est pour s'en servir. Faire le DL de G' à l'ordre 5 au voisinage de 0 puis intégrer terme à terme. La valeur de G en 0 déterminera la constante d'intégration.

 

[est01]

Oui bien vu !

merci, mais je l’avais fait mais ensuite pour faire la question 3 j’etais Bloqué car il n’y avait plus de termes sans x

c’est Justement la valeur de G en 0 que je ne sais pas comment calculer 

[est01]

j'ai donc G'(x)=2x/sqrt(1+x^4)

je trouve G'(x)= 2x-x^5+o(x^5)

quand j'intègre j'ai G(x)=G(0)+x-x^6/6 +o(x^6) or G(0)=0 donc G(x)=x-x^6/6 +o(x^6), et là je suis bloquée pour la question 3

[Invité]

On a donc G(x)=xF(x) -> F(x)=G(x)/x=x-x^5/6+o(x^5)  (car G(x)=x²-x⁶/6+o(x⁶))

Ce DL au voisinage de 0 montre que F  est prolongeable par continuité en ce point, où elle vaut 0.

La dérivée est F'=1-5x⁴/6+o(x⁴)

Comme F'(0)=1, la tangente à la courbe à l'origine a pour équation y=x.

[est01]

merci. c'EST exactement ce que j'avais fait mais je pensais qu'il fallait un terme sans x dans le DL