Fonctions / Dérivée

[Ch00Ch00]

Bonjour,

J'ai essayé de faire quelque chose, mais je ne suis pas sur voir je suis bloqué. J'aurais besoin de votre aide.

Exercice 1: 

On considère la fonction f définie par:   

f: [2 ; +oo[ -> R

x -> f(x) = sqrt(x^2 - 4x + 8)

1) Prouver que f réalise une bijection de I = [2 ; +oo[ -> R sur son image (que l'on précisera)

• x -> x^2 est continue sur R+
• x -> -4x + 8 est continue sur R
• x -> sqrt(x) est continue sur R+
• par composition, x -> sqrt(x^2 - 4x + 8) est continue sur R+

f(x) =sqrt(x^2 - 4x + 8) ≥ 0, f(x) est croissante. 

• f(2) = sqrt( (2)^2 - 4*2 + 8) = 2
• lim f (lorsque x tend vers +oo): +oo

Ainsi f réalise sur une bijection de  [2 ; +oo[ vers [2 ; +oo[.

2)  Prouver que la bijection réciproque  f est continue

Soit y appartient à [2 ; +oo[ et x = f^-1 (y) appartient à [2 ; +oo[

y = f(x) <=> y = sqrt(x^2 - 4x + 8)

Je suis bloqué à partir d'ici.

3) Déterminer cette bijection réciproque.

 

Exercice 2:

Soit n appartenant à N, n ≥ 3. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x^x - x - 1

1) A l'aide du binôme de Newton, montrer que f(1 + 1/n)> 0

f(x) = x^x - x - 1

f(1 + 1/n) = (1+1/n)^n - (1+1/n) - 1 = (1+1/n)^n - (2+1/n)

Je ne vois pas comment utiliser la formule du binôme dans cet un exercice.

 

2) En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle [1, 1 + 1/n], on note x_n cette solution. Montrer que (xn)_n converge vers 1.

 

Merci d'avance pour vos aides,