Devoir maison/Correction

[NoctisX55]

Bonjour!

Je souhaiterais que quelqu'un puisse me corriger mon DM de math s'il vous plaît. Je remercie d'avance ceux ou celles qui prendront le temps de m'aider. Dans un premier temps je poste l'ensemble des énoncé, puis je vous donne mes réponse.

Énonce 1:

1. On considère la fonction polynôme P définie pour tout réel x par: P(x)=2x^3-3x^2--1.
a) Étudier les variations de P.
b) Montrer que l'équation P(x)=0 admet une racine réelle et une seule, notée et que ]1,6;1,7[.
c) Déterminer le signe de P(x) suivant les valeurs de x.
2. On considère la fonction f définie sur ]-1;+OO[ par f(x)= (1-x)/(1+x^3), et on appelle C sa courbe représentative dans un repère (O;i;j)
a) Démontrer que C admet deux asymptotes parallèles aux axes du repère.
b) A l'aide la question 1, étudier les variations de f.
c) Écrire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.

 

Énonce 2:

1. Soit f une fonction définie et continue sur [-2;3] tel que f(-2)=-1 et f(3)=7. Le nombre de solution de l'équation f(x)=2 est:
a)Aucune
b)Unique
c)Au moins une
d)On ne peut rien dire

2. Soit f une fonction définie et continue sur [-2;3] tel que f(-2)=-1 et f(3)=7.  Le nombre de solution de l'équation f(x)=8 est:
a)Aucune
b)Unique
c)Au moins une
d)On ne peut rien dire

3. Soit la fonction f définie sur R par f(x)=4x^3+2x-11 et k un réel. Le nombre de solution de l'équation f(x)=k est:
a)Aucune
b)Unique
c)Au moins une
d)On ne peut rien dire

4. Soit f une fonction continue et strictement décroissante sur [-2;+00[, tel que f(-2)>0 et lim f(x)=-1. Le nombre de solution de l'équation f(x)=0 est:                                                                                                                                                                                                             x tends vers +00
a)Aucune
b)Unique
c)Au moins une
d)On ne peut rien dire

 

Énonce 3:

Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tiré, il perd 3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

a) Démontrer que P(X=-1)= 20n/(n+10)(n+9)
b) Calculer en fonction de n, la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable X.
c) Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut: E(X)=(-6n²-14n+360)/((n+10)(n+9))
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive.

3. Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l'urne. Les tirages sont indépendants. Déterminer la valeur minimale de l'entier n, afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieur à 0,999.

 

Énonce 4:

A et B sont deux événements d'un univers . Dire si les phrases sont vraies ou fausses en justifiant.

a) P(AB)=P(A)*P(B)
b) P(A)*P_A(B)=P(B)*P_B(A)
c) Si P(A)=0,2, P_A(B)=0,9, P(B)=0,7, alors P(AB)=0,72
d) Si A et B sont indépendants, P(A)=1/3 et P(B)=3/4, alors P(A contraire de B)=1/12.
e) On lance trois dès parfaitement équilibrés. La probabilité d'obtenir 421 est 1/216.

 

Énonce 5:

L'algorithme ci-dessous permet de calculer le terme de rang n (n1) d'une suite (Un).

Variables:
n est du type nombre
u est du type nombre
i est du type nombre

Début de l'algorithme:
Lire n
u prends la valeur 1
Pour i allant de 1 à n
  -Début pour
  -u prends la valeur (3*u+1)
  -Fin pour
Fin de l'algorithme

1. Donner U0.
2. Donner la relation de récurrence liant Un+1 et Un pour tout entier naturel n.
3. En utilisant cet algorithme, conjecturer le sens de variation de la suite (Un).
4. Démontrer cette conjecture par récurrence.

 

Énonce 6:

On considère la suite (Un) définie sur N par:  Uo=1 et Un+1=(Un/3)+n-2

1. Calculer U1 et U2
2.On considère la suite (Vn) définie sur N par Vn=-2Un+3n-21/2
a)Démontrez que la suite (Vn) est une suite géométrique, dont on donnera le premier terme et la raison.
b)En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=(25/4)(1/3)ⁿ+(3n/2)-(21/4)
c)Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel n par Sn=Uo+U1+...+Un. Déterminez l'expression de Sn en fonction de n.

[NoctisX55]

Réponse 1:

 

1.a) P'(x)=6x^2-6x
On cherche le signe de la dérivée:
6x^2-6x=0
x(6x-6)=0
Donc on obtiens: x1=0 et 6x2-6=0
x2=1

b) On constate que sur ]-00;0], il y a un maximum. Pour x=0, P(O)=-1. On en déduit donc que dans cet intervalle, aucune valeur x donne P(x)=0. De plus, sur [O;1] la fonction polynôme P est décroissante. Donc dans cet intervalle, aucune valeur x donne P(x)=0. Ainsi la valeur de x pour laquelle P(x)=0 se trouve sur l'intervalle [1;-00[, puisque la fonction est croissante. Or on constate que selon la calculatrice P(1,6)=-0,488<0 et P(1,7)=0.156>0, donc la valeur de x pour laquelle P(x)=0 se trouve dans l'intervalle ]1,6;1,7[.

 

c) Selon l'exercice 1.a et 1.b), si x ]-00;[ alors le signe de P(x) est négatif. Et si x ];+00[, alors le signe de P(x) est positif. Enfin si x=, alors le signe de P(x) s'annule.

 

2.a) Là je bloque.

 

b) f'(x)=(2x^3-3x^2-1)/(1+x^3)²

(1+x^3)²>0, donc le signe de la dérivée f'(x) dépend de 2x^3-3x^2-1. Or 2x^3-3x^2-1 correspond à la fonction polynôme P du 1.

 

c)f'(x)=(2x^3-3x^2-1)/(1+x^3)²

La formule de la tangente est y = f '(a) (x - a) + f(a). Donc pour a=0, on a:

f(O)=1
f'(O)=-(1/2)

y = f '(O) (x - O) + f(O)=-(x/2) + 1

 

 

Réponse 2:

1.c
2.d
3.b
4.b

 

 

Réponse 3:

a) X prends les valeurs {-6;-1;4}

Soit I l'événement que le joueur tire une boule blanche, puis une boule rouge.
Soit F l'événement que le joueur tire une boule rouge, puis une boule blanche.

P(F)=(n/(n+10))*(10/(n+9))=10n/((n+10)(n+9))
P(I)=(10/(n+10))*(n/(n+9))=10n/((n+10)(n+9))

On en déduire alors que: P(X=-1)=P(I)+P(F)=10n/((n+10)(n+9)) + 10n/((n+10)(n+9)) = 20n/(n+10)(n+9)

b) Soit R l'événement que le joueur tire 2 boules rouges.
Soit B l'événement que le joueur tire 2 boules blanches.

P(B)=P(X=4)=(10/(n+10))*(9/(n+9))=90/(n+10)(n+9)
P(R)=P(X=-6)=(n/(n+10))*((n-1)/(n+9))=(n²-n)/(n+10)(n+9)

c)E(X)=4*P(X=4)-1*P(X=-1)-6*P(X=-6)=-6*((n²-n)/(n+10)(n+9))+4(90/(n+10)(n+9))-1*(20n/(n+10)(n+9))=(-6n²-14n+360)/((n+10)(9+n))

(n+9) et (n+10) sont strictement positif pour tout entier n supérieur ou égal 2. Donc le signe E(X) dépend de -6n²-14n+360. Soit V(n)=-6n²-14n+360. On pose V(n)=V(x).

V(x)=0
-6x²-14x+360=0
=b²-4ac=(-14)²-4*-6*360=94²
x1=20/3 x2=-9

V(x) est strictement positif sur ]-9;20/3[. Or n est un entier naturel, donc E(X) est strictement positif à partir de n=7, puisque 20/3=6.66666...

 

 

3. On a une épreuve de Bernouilli ayant 2 issues:
-le joueur tire une boule blanche avec une probabilité de p=10/(n+10)
-le joueur tire une boule rouge avec une probabilité de 1-p=n/(n+10)
On a un schéma de Bernouilli, l'épreuve est répétée de manière identique et indépendante 20 fois, k=20. La Variable aléatoire Y compte le nombre de boule blanche tirée. B(20;n/(n+10))

P(Y1)=1-P(Y=0)=1- 20*(n/(n+10))*(10/(n+10))^20=1-(10/(n+10))^20
0
On cherche P(Y1)>0,999
1-(10/(n+10))^20>0,999
-(10/(n+10))^20>-0,001
(10/(n+10))^20<0,001

10^20/(n+10)^20<0,001

1/(n+10)^20<10^-23

On cherche sur la calculatrice à partir de quel rang n (n), on a  1/(n+10)^20<10^-23:

n         1/(n+10)^20

4         1.1951964*10^-23
5         3.0072866*10^-24

Donc à partir de n=5, on a  1/(n+10)^20<10^-23. Ce qui signifie, c'est qu'il faut un minimum de 5 boule rouge dans l'urne, afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieur à 0,999.

 

 

Réponse 4:

a) Faux, on peut dire que P(AB)=P(A)*P(B) si et seulement si les événements A et B sont indépendants. Or ici on ne sait s'ils le sont.

b)Vraie, car p_A(B)=p(AB)/p(A) et p_B(A)=p(AB)/p(B)

c)Vraie, puisque:

P(AB)=P(A)*P_A(B)=0,18
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.72

d)Vraie, puisque:

P("contraire de B")=1-P(B)=1/4
P(A"contraire de B")=P(A)*P("contraire de B")=1/12  
Car les événements A et B étant indépendant, il en va de même pour  les événements A et "contraire de B"

e) Vraie, puisque:

P("le dès  tombe sur 4)=1/6
P("le dès  tombe sur 2)=1/6
P("le dès  tombe sur 1)=1/6

 

Réponse 5:

1.Uo=1
2.U_n+1=((3*Un)+1)
3.Il semble que la suite (Un) soit croissante à partir du rang n=0. C'est à dire que U_n+1>Un
4.Initialisation:
Montrons que la propriété est vraie au rang initial n=0.

D'une part Uo=1
D'autre part U1=((3*1)+1)=(4)=2 1<2, donc Uo<U1

Donc la propriété est vraie au rang initial n=0, elle est initialisée.

Hérédité:
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain rang n. On doit montrer qu'elle est vraie au rang n+1, c'est à dire:

U_n+1<U_n+2

Montrons le!
On part de l'hypothèse de récurrence:
U_n+1>Un
3*U_n+1>3*Un On multiplie par 3, qui est un chiffre positif. Donc le sens de l'inéquation ne varie pas.
1+(3*U_n+1)>1+(3*Un)
(1+(3*U_n+1))>(1+(3*Un)) La fonction racine carré est strictement croissante sur R₊. Donc le sens de l'inéquation ne varie pas.
U_n+1<U_n+2

Donc la propriété est vraie au rang n+1, elle est héréditaire.

Conclusion:

La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n .

Donc pour tout n: U_n+1>Un

 

 

Réponse 6:

1. U1= 1/3 + 1 - 2 = -(2/3)
U2= -(2/9) +2 - 2 = -(2/9)
2.a) Vn+1=-2Un+1+3(n+1)-21/2= -(2Un/3)-2n+4+3n+3-21/2= -(2Un/3)+n-7/2=(1/3)(-2Un+3n-21/2)=(1/3)Vn
Donc la suite (Vn) est géométrique, puisque pour passer d'un terme à l'autre, on multiplie toujours par le même nombre qu'est la raison q=1/3.
Vo=-2Uo+3*o-21/2= -(25/2)
Vn= -(25/2)*q<sup>n

b)Vn=-2Un+3n-21/2
-2Un=-3n+(21/2)+Vn
Un= (3n/2)-(21/4)-(Vn/2)
Un=(25/4)(1/3)n</sup>+(3n/2)-(21/4)

3.

On constate que la suite (Un) est une suite arithmético-géométrique. Ce qui signifie qu'elle est composé d'une suite géométrique (Wn) définie par Wn=(25/4)(1/3)^n et d'une suite arithmétique Z(n) définie par Zn=(3n/2)-(21/4), et donc que la somme Sn de la suite (Un) est composé des sommes Sn' de la suite (Wn) et Sn'' de la suite Z(n).

Wo=(25/4)(1/3)^0=25/4

Sn'=Uo*((1-q^n+1)/1-q)=(25/4)*((1-(1/3)^n+1)/1-(1/3))=(25/4)*((1-(1/3)^n+1)/(2/3))

Zo=(3*0/2)-(21/4)=-(21/4)

Sn''=(n+1)(Uo+Un)/2=((n+1)(-(21/4)+(3n/2)-(21/4))/2=((n+1)(-(42/4)+(3n/2))/2


Donc Sn=Sn'+Sn''=((n+1)(-(42/4)+(3n/2))/2 + (25/4)*((1-(1/3)^n+1)/(2/3))

 

[Olivier0507]

Exercice 1 :

b) Mentionner la limite en +inf qui vaut +inf pour bien montrer que f(1) est négative, et la limite de f en +inf est égale à +inf (donc positive).Mentionner le Théorème des Valeurs Intermédiaires dans ton raisonnement, si tu l'as vu.

2a) Lim{x->+inf}(f(x)) = 0 . Idem quand x->-inf  . La droite d'équation y = 0 (qui est confondue avec l'axe des abscisses) est asymptote à la courbe en +inf  et -inf.

De même, lim{x->-1^-)(f(x)) = -inf et  lim{x->-1+)(f(x)) = +ind . La droite d'équation x = 1 (parallèle à l'axe des ordonnées) est asymptote à la courbe.

b) La dérivée au point 0 vaut -1 et non -1/2. Ce qui donne une tangente d'équation y = -x+1

[Olivier0507]

Exercice 2 : Ok

[Olivier0507]

Exercice 3 :

"V(x) est strictement positif sur ]-9;20/3[. Or n est un entier naturel, donc E(X) est strictement positif à partir de n=7, puisque 20/3=6.66666...  " --> Petite erreur d'inattention : V(x) est positif sur ]-9;20/3[ donc lorsqu'il y a au plus 6 boules rouges (et non pas à partir de, c'est l'inverse justement);

Sinon, bravo pour la rédaction de cet exercice qui est très claire! Ton mérite est d'autant plus grand qu'il s'agit d'un exercice niveau bac (déjà tombé)!

[Olivier0507]

Exercice 4 : Ok. Pour le e) précise bien que 6^3 = 216

[Olivier0507]

Exercice 5 : Dans le raisonnement par récurrence : 

"1+(3*U_n+1)>1+(3*Un)
(1+(3*U_n+1))>(1+(3*Un)) La fonction racine carré est strictement croissante sur R₊. Donc le sens de l'inéquation ne varie pas. " --> Encore faut-il avoir le droit de passer à la racine.

Deux solutions : Soit tu montres dans ton raisonnement par récurrence que les termes Un de la suite (Un) sont à valeurs positives. Mais tu peux largement te contenter d'indiquer en début de paragraphe : "Il est clair que la suite (Un) est à valeurs positives au vu de sa définition" vu que c'est évident.

 

[Olivier0507]

Exercice 6 : Ok, ne pas oublier une paire de parenthèses (même si j'imagine que sur ton papier c'est tout bon) :

Donc Sn=Sn'+Sn''=((n+1)(-(42/4)+(3n/2))/2 + (25/4)*((1-(1/3)^(n+1))/(2/3))

Pour résumer, ton DM est EXCELLENT! Bravo!

[NoctisX55]

Bonjour,

 

tout d'abord je tiens à vous remercier de votre immense aide; Néanmoins j'aurai une question à vous poser. Comment trouver vous que la fonction admet pour limite en par valeur supérieur ?

[Olivier0507]

De rien, c'était un plaisir de t'aider, vu que tu avais véritablement travaillé avant de poster sur le forum.

Pour répondre à ta question : 

1-x  --> 2 (donc vers un réel fini non nul)

x^3 --> -1⁺

1 + x^3 --> 0⁺

(1-x)/(1+x^3) --> +inf

[NoctisX55]

Bonsoir,

ben je ne sais quoi dire si ce n'est un énorme merci pour votre aide, ainsi que pour vos explications.

 

Sur ce je vous souhaite une bonne soirée!

[Olivier0507]

Merci, de même.