Barrycentre 1°s

[Duffman]

Pourriez vous m'aider pour ce devoir hebdomadaire que je dois rendre vendredi svp ? J'ai des difficultés pour la première question surtout :

ABC est un triangle. Soit M un point du côté [AB], distinct de A et de B , tel que vecteur AM=x vecteur AB et N un poit du côté [AC], distinct de A et de C, tel que vecteur AN= y vecteur AC.

1) Soit S l'intersection des droites BN et CM.Démontrer que S est barrycentre de:

(A,1);(B,k);(C,k')

2)Soit P le barrycentre de (B,k);(C,k')

Démontrer que (AS) coupe (BC) en P.

3)Exprimer le vecteur BP en fonction du vecteur BC.

4)Utiliser les résultats précédents pour résoudre le,problème suivant:

vecteur AI=2/3 vecteur AB et vecteur AJ=1/4 vecteur AC.Les droites CI et BJ se coupent en H et la droite AH coupe la droite BC en K

Déterminer l'abscisse de K sur la droite (B;vecteur BC)

Je vous remercie d'avance ou si vous ne trouvez pas indiquez moi les méthodes

[Duffman]

Allez s'il vous plaît soyez simpa...

[philippe]

bonsoir,

tu es en 1ère?

[Duffman]

Bonsoir, oui , je suis en première S.Merci de m'avoir répondu je commençait à désespérer... Je te rappelle si tu as la gentillesse de m'aider que je dois rendre mon devoir demain après-midi.

[philippe]

(je pensais que le barycentre se faisait en terminale...)

Traduit les hypothèses en termes barycentriques.

Montre que:

M=bar{(A,1-x)(B,x)}

N=bar{(A,1-y)(C,y)}

L'alignement de S,B,N peut s'exprimer par le fait que:

S est barycentre de {(B,b )(N,n)}

on peut toujours jouer sur les coef et s'arranger pour que b+n=1

par conséquent, il existe donc b tq:

S=bar{(B,b )(N,1-b )}

De même:

S=bar{(C,c)(M,1-c)}

puisque:

S=bar{(B,b )(N,1-b )} et N=bar{(A,1-y)(C,y)}

alors

S=bar{(A,(1-y)(1-b ))(B,b )(C,y(1-b ))} (associativité du barycentre)

puisque

S=bar{(C,c)(M,1-c)} et M=bar{(A,1-x)(B,x)}

alors

S=bar{(A,(1-x)(1-c))(B,x(1-c))(C,c)} (idem)

on sait qu'on ne modifie pas un barycentre si on multiplie ses coef par un même nombre non nul, donc des 2 systèmes pondérés (qui expriment la même chose) on tire que:

il existe un réel u tq:

(1-y)(1-b )=u.

b=u.x(1-c)

y(1-b )=u.c

l'élimination de u dans ce système permet de déterminer b et c en fonction de x et y.

trouve b et c.

pour terminer, prenons donc la relation:

S=bar{(A,(1-y)(1-b ))(B,b )(C,y(1-b ))}

on peut tout diviser par (1-y)(1-b ) (non nul par hypothèses)

donc

S=bar{(A,1)(B,b/[(1-y)(1-b )])(C,y/(1-y))}

remplace b par sa valeur et montre que:

S=bar{(A,1)(B,x/(1-x))(C,y/(1-y))}

pour le reste c'est de l'application numérique.

remarque:

il y avait plus direct (3lignes!) pour montrer qu'il existe k et k' tels que S=bar...

mais sans avoir d'information sur k et k' (par rapport à x et y)

bonne soirée

[Duffman]

Merci beaucoup et bonne soirée à toi