DM maths

[titilachipi]

La fonction f est définie sur R+ par f(x)=x/2 + 2/x²

1) a. Etudier les limites de f en (-)infini et +infini

b. montrer que la courbe Cf admet en -infini et +infini une même asymptote oblique D dont on donnera une équation

c. Établir la position de CF par rapport à D

2) Etudier la limite de f en 0. Interpréter si possible le résultat graphiquement

3) a. Justifier que f est indéfiniment dérivable sur R+

b. Déterminer f ' (x), puis f '' (x) pour tout x=0

4) Dresser le tableau de variation de f

5) a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1

b. Etudier la convexité de la fonction f

c. Que pouvez vous dire de la position de la courbe Cf par rapport à la tangente T ?

6) a. Montrer que f réalise une bijection de ]0;1] sur un intervalle à déterminer.

b. Pour quelle valeurs du réel m l'équation f(x)=m d'inconnue x admet-elle une unique solution dans ]0;1] ?

7) Représenter dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm les droites D et T et la courbe Cf pour x compris entre -4 et 4