Dm Intégrale Et Suite

[j3ss-s3cr3t]

Bonsoir, je travaile sur ce dm depuis mercredi, j'ai même demander de l'aide à mon père mais il n'était pas très fort sur ce sujet au lycée, pourriez vous m'aider?

Les trois parties de cet exercice sont, dans une large mesure, indépendantes.

Pour tout entier naturel n, on défini sur R la fonction numérique fn par f0(x)=1 / (1+x²) et our n entier natuel non nul, fn(x)=x^n / (1+x²)

On note Gn la courbe représentative de fn, dans le plan rapporté à un repère orthonormal (0,i,j) (unité graphique 4 cm)

On désigne par In l'intégrale In=Integrale de 0 à 1 de fn(t) dt.

Partie A

1a) Etudier les limites de f1 en +infini et - infini. Quelle est la conséquene graphique de ces résultats?

Ici j'ai trouver 0 au deux en utilisant le théorème des termes de plus haut degrés. La conséquence graphiqe est qu'il y'a une asymptote horizontale d'équation y=0. Est ce bien cela?

1b) Etudier les variations de f1.

Je trouve comme dérivée (1-x²) / ((1-x²)²) de - infinie à - 1 la courbe est décroissante (dérivée négativeà, de -1 à 1 la courbe est croissante. De 1 à + infinie, la courbe st décroissante.

1c) Tracer la courbe G1

Je l'ai fais et cela corresond à mon tableau.

1d) calculer I1 je trouve ln(2)/2

2a) Etudier les limites de f3 en + infinie.

Je trouve + infinie.

2b) Etudier les variation de f3.

Jje trouve que de - infinie à + infinie la courbe est croissante (dérivée: (x² ( x²+3)) / ((1+x²)² )

2c) Tracer la courbe G3 sur le même dessin que 1c.

Je l'ai fait et cela correspond aussi à mon tableau de variation.

3) Calculer I1+I3.

C'est à partir d'ici que je suis bloquée.

4) Calcule en unité d'aire, l'aire du domain limité par les courbe G1 et G3, et les droites d'équation x=0 et x=1.

Je pensais à integrale de 0 à 1 f1(t) - f3(t)dt ?

Partie B

On dessinera la figure demandée dans un nouveau repère orthonormal (0,i,j) (unité graphique 4 cm)

1a) Etudier les limites de f0 en + infinie et - infinie.

Je touve 0 pour les deux.

1b)Etudier les variations de f0.

Je trouve de - infinie à 0 croissante (dérivée positive), de 0 à + infinie décroissante.

2) Soit (an) la suite définie, pour n entier naturel non nul, par an= intégrale de 0 à n (1/(1+t²)dt

2a) interpreter graphiquement an.

2b) Montrer que la suite (an) est croissante.

an+1 - an?

2c) Montrer quepourtut réel t, 1 / (1+t²) <ou = 1 et en déduire que a1 < ou = 1

2d) Montrer que , pour tout réel t non nul 1 / (1 + t²) < ou = 1/t² et en déduire que pour tout entier naturel non nul intégrale de 1 à n 1/(1+t²) dt < ou = 1-1/n

2e) Montrer, en utlisant les questions précédentes que pour tout entier naturel n non nul: an< ou = 2 Que peut on déduire pour la convergence de cette suite?

Partie C

Soit F la fonction telle que F(0)=0 F dérivable sur R et F'(x)= 1/(1+x²)

1) On pose, pour tout x appartenant à ]-pie/2,pie:2[ H(x)=F[tan(x)]

1a) Calculer H(0)

1b) Montrer que H est dérivable sur ]-pie/2,pie/2[ et calculer H'(x)

1c) En déduire que pour tout x appartenant à ]- pie/2, pie/2[ H(x)=x

1d Montrer que F(1)=pie/4

2) On pose pour tout x réel positif ou nul: k(x)=F(1/(x+1)) + F(x/(x+2))

Montrer que la fonction k est dérivable sur R+ et determiner k'(x). En déduire la valeur de F(1/2) + F(1/3)

Si vous pouviez m'aider s'il vous plait merci ! Bonne soirée.