Droite D'euler

[amel62]

Partie A:

.

Soit AB un triangle quelconque. Soient A',B' et C' les milieux respectifs des segments [bC] [AC] ET [AB]

Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC

1) Faire une figure ( pour la figure c'est bon)

2)Rappeler la définition du centre du cercle circonscrit . ( j'ai répondu : Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par les sommets du triangle. Son centre est situé à l'intersection des médiatrices.)

3) Que reprèsente la droite (OA') pour le triangle ABC . (j'avais pensé à un des rayons mais c'est "pour le triangle ABC" )

O est sur les 3 médiatrices, A' est le milieu de [bC] dc est sur la médiatrice de [bC]: (OA') est dc la médiatrice de [bC] (et par suite (OA') est perp à (BC).

Soit H le point tel que (vecteur) OH=(vecteur)OA+(vecteur)OB+(vecteur)OC

4)Calculer (vecteur) OB+(vecteur)OC

A' est le milieu de [bC] dc OB+OC=2OA' (en vecteurs)

5)Démontrer que (vecteur) AH= 2(vecteur) OA'

AH=AO+OH=AO+(OA+OB+OC)=OB+OC dc =2OA' (en vecteur)

6)En déduire que les droites (AH) et (OA') sont parallèles

AH=2OA' les vecteurs AH et OA' st colinéaires et (AH)//(OA')

7)Que reprèsente la droite (AH) pour le triangle ABC?

(AH)//(OA') et (OA') perp à (BC) dc (AH) perp à (BC) dc (AH) hauteur issue de A

8)Compléter:

De même, on peut démontrer que les droites (BH) et (CH) sont aussi ..hauteurs..

9)Que reprèsente le point H pour le triangle ABC ?

H étant sur les 3 hauteurs est l'orthocentre de ABC

10) Placer le point H sur la figure .

Partie B:

Partie A:

Soit ABC un triangle quelconque.Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .Soit G le centre de gravité du triangle. Soit G' le symétrique du point G par rapport a A'. Soit H le point tel que OH=OA+OB+OC(en vecteurs)

1)faire la figure

2)Déterminer l nature du quadrilatère GBG'C

3)en se placant dans la triangle ACG' démontrer que G est le milieu de [AG']

4)En déduire que GA+GB+GC=0 (en vecteurs)

Partie C:

Soit ABC un triangle quelconque.

Soient A',B' et C' les milieux respectifs des segments [bC] [AC] ET [AB].Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .Soit G le centre de gravité du triangle ABC.Soit H le point tel que OH=OA+OB+OC(en vecteurs)

1) En utilisant la relation de chasles dans l'expression de la question B.4, démontrez que MA+MB+MC=3MG (en vecteurs)

2)Calculer 3MG-OH (en vecteurs)

3) en déduire que OH=3OG (vecteurs)

4)cas particuliers : le triangle ABC est equilateral

a)Démontrer que le point A appartient à la médiatrice du segment [bC]

b)En déduire que la médiatrice du segment [bC] et la hauteur du triangle ABC issue du sommet A sontn confondues

c)Que diredes points O et H?

d)En déduire que OG=0 (vecteurs)

e)Que dire des points O,H et G ?

(5)Que dire des points O,H et Gdans le cas ou le triangle n'est pas équilatéral ? (question 3) (ils sont certainement alignés)