Nombre Naturel Divisible Par 19

[Jenny24]

Bonjour, j'ai un exercice à faire pour vendredi que je n'arrive pas a résoudre.

Un nombre naturel N dont le nombre des dizaines est noté D et dont le nombre des unités est noté u s'écrit donc N=10D+u. On considère le nombre N'=D+2u.

1) Montrer que les deux propriétés:"N est divisible par 19" et "N' est divisible par 19 sont équivalentes.(2 démonstrations à faire)

2) Construire un algorithme permettant de reconnaitre si un nombre est divisible par 19.Application aux nombres a=57 894 325 528 456 et b=44 773 291 585 504. On donnera pour chacun d'eux tous les calculs effectués.

3) On suppose que les nombres N et N' ne sont pas divisibles par 19 . Soient r et r' leurs restes respectifs dans la division euclidienne par 19. Trouver une relation entre r et r'. Vérifier sur 2 exemples numériques: a) N=57894 B) N=352

1) N=10D+u divisible par 19:

19 N=k dont le reste est 0 de meme pour N' je n'arrive pas à démontrer!!

pourriez vous m'aider?

[jerome]

1)1er sens d'implicaion :

supposons que 19 divise 10d+u

Cela implique que 19 divise 2*(10d+u).

Or 2*(10d+u)=20d+2u=19d + (d+2u).

Il est évident que 19 divise 19d.

Par conséquent, 19 divise d+2u, c'est à dire N'.

Je te laisse le soin de faire le second sens d'implication.

2) Pour l'algorithme, je ne sais pas. Essaie peut etre de poser la question dans la rubrique informatique.

3)on a 19*k = 10d+u+r

et 19*k'=d+2u+r'.

En remplaçant u dans la seconde expression par celle trouvée dans la première , on obtient 19*k'=19*2*k-19*d+r'-2r.

19*k' est congru à 0 modulo 19

le membre de droite est congru à r'-2r modulo 19.

d'ou r'-2r=n*19.

n est strictement inférieur à 1 car sinon, r' serait supérieur à 19 puisque r>=0, ce qui est en contradiction avec le fait que r' soit le reste d'une div euclidienne par 19.

Par un raisonnement similaire, on en déduit que n>-2.

d'ou r'=2r ( si r est inférieur ou égal à 9 ) ou r'=2r-19. ( si r supérieur ou égal à 10).

Jerome.