Barycentre 1ères

[oo-Bubulle-oo]

Bonjour! Voilà, j'ai un petit problème avec la fin d'un énoncé, je vous met l'énoncé tout ce que j'ai réussi à faire Merci d'avance à ceux qui répondront!

ABC est un triangle et I, J, K les points tels que: vecteurBI=(1/3)vecteurBC, vecteurCJ=(3/4)vecteurCA et vecteurAK=(2/5)vecteurAB.

a) Exprimer I comme barycentre de B et C, J comme barycentre de A et C et K comme barycentre de A et B affectés de coefficients à préciser.

Donc ici j'ai trouvée:

2vecteurIB+vecteurIC=vecteur nul avec I barycentre de (B,2) et (C,1) puis 3vecteurJA+vecteurJC=vecteur nul avec J barycentre de (A,3) et (C,1) et enfin 2vecteurKB+3vecteurKA=vecteur nul avec K barycentre de (B,2) et (A,3).

b)Démontrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes.

Alors, moi je galère à partir de là.... Donc j'ai essayé de regrouper les 3 expressions en gras du petit a) j'arrive à 3vecteurGI+4vecteurGJ+5vecteurGK=4vecteurGB+4vecteurGC+6vecteurGA mais je n'arrive pas à prouver que 4vecteurGB+4vecteurGC+6vecteurGA peut être =0... Grâce au petit a) on a aussi (I,3) (J,4) et (K,5)....Voilà, si vous pourriez m'aider, ça m'arrangerai beaucoup, merci d'avance

[virx]

Bonjour! Voilà, j'ai un petit problème avec la fin d'un énoncé, je vous met l'énoncé tout ce que j'ai réussi à faire Merci d'avance à ceux qui répondront!

ABC est un triangle et I, J, K les points tels que: vecteurBI=(1/3)vecteurBC, vecteurCJ=(3/4)vecteurCA et vecteurAK=(2/5)vecteurAB.

a) Exprimer I comme barycentre de B et C, J comme barycentre de A et C et K comme barycentre de A et B affectés de coefficients à préciser.

Donc ici j'ai trouvée:

2vecteurIB+vecteurIC=vecteur nul avec I barycentre de (B,2) et (C,1) puis 3vecteurJA+vecteurJC=vecteur nul avec J barycentre de (A,3) et (C,1) et enfin 2vecteurKB+3vecteurKA=vecteur nul avec K barycentre de (B,2) et (A,3).

b)Démontrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes.

Soit G le barycentre de (A,3) ((B,2) (C,1)

En utilisant la propriété d'associativité du barycentre (barycentre partiel) alors G est aussi le barycentre de (K,5) et (C,1) , ce qui prouve que G est sur (CK)

En associant différemment les points on démontre que G est aussi sur (BJ) et (AI).

vectoriellement :

3GA + 2GB + GC =0 > 3(GK+KA) + 2(GK+KB) + GC = 0 > 5GK +GC + 3KA +2KB = 0 > 5GK + GC = 0 car 3KA + 2KB = 0 ; K est le barycentre de (A,3) et (B,2) . 5GK + GC = 0 prouve que G est barycentre de (K,5) et (C,3).

Alors, moi je galère à partir de là.... Donc j'ai essayé de regrouper les 3 expressions en gras du petit a) j'arrive à 3vecteurGI+4vecteurGJ+5vecteurGK=4vecteurGB+4vecteurGC+6vecteurGA mais je n'arrive pas à prouver que 4vecteurGB+4vecteurGC+6vecteurGA peut être =0... Grâce au petit a) on a aussi (I,3) (J,4) et (K,5)....Voilà, si vous pourriez m'aider, ça m'arrangerai beaucoup, merci d'avance

[virx]

réponse débarassée de symboles bizarres

Soit G le barycentre de (A,3) ((B,2) (C,1)

En utilisant la propriété d'associativité du barycentre (barycentre partiel) alors G est aussi le barycentre de (K,5) et (C,1) , ce qui prouve que G est sur (CK)

En associant différemment les points on démontre que G est aussi sur (BJ) et (AI).

vectoriellement :

3GA + 2GB + GC =0 équivaut à 3(GK+KA) + 2(GK+KB) + GC = 0 éqivaut à 5GK +GC + 3KA +2KB = 0 équivaut à 5GK + GC = 0 car 3KA + 2KB = 0 ; K est le barycentre de (A,3) et (B,2) . 5GK + GC = 0 prouve que G est barycentre de (K,5) et (C,3).