Exercice Sur Les Logarithme Pour Mardi

[Tubis]

Tout d'abord bonjour a tous !

donc voila, j'ai un exercice sur les logarithme a faire pour mardi, il est assez long et il est composé de 12 questions, je voudrais tout simplement de l'aide sur les 3 premieres questions que je n'arrive pas a résoudre, le reste est assez simple mais il me faut le début, donc si quelqu'un pouvait me donner quelques pistes pour que je puisse continuer mon probleme ce serait très aimable :

Soit f définie sur [- pi / 2 ; pi / 4 [ par f(x)= ln ( cosx - sinx)

Notons © sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ; j ) avec

|| i || = || j || = 4 cm

1) a) Montrez que cos x- sin x= √2 cos ( x + pi / 4 )

B) Déduisez-en que la fonction f est bien définie sur [ - pi / 2 ; pi / 4 ]

2) Montrez que la droite (D) d'équation x= pi/4 est asymptote à ©

3) a) Montrez que cos x + sin x = √2 cos (x - pi / 4)

B) déduisez-en les variations de f sur [- pi / 2 ; pi / 4[, puis dressez son tableau des variations sur [- pi / 2 ; pi / 4 [

le reste je sais le faire, détermination des limites... mais voila ayant abordé ce chapitre nouvellement, j'ai du mal à le faire.

je vous remercie tous davance !

[Matrix_]

salut

1)a. Tu peux developper V2cos(x + pi/4)

= V2 [ cosxcos(pi/4) - sinxsin(pi/4) ]

= cosx - sinx

b. cosx - sinx est positif donc ln(cosx-sinx) existe pour tout réel appartenant à l'instervalle précisé.

2) On pose g(x) = f(x)-(pi/4) , dériver l'expression éventuellement, étudier le signe de g', puis en déduire le tableau de variation de g et conclure sur la position de l'asymptote par rapport à f (en gros sur quel intervalle f au dessus de x=pi/4, en dessous...)

(Remarque: ton ln(cosx-sinx) devient ln(V2cos(x+(pi/4))

3)a) De même que la 1) avec les formules de trigo

b. Pareil qu'en haut ^^ en te servant de ce que tu aura démontré en 3.a.

[Tubis]

1)a. Tu peux developper V2cos(x + pi/4)

= V2 [ cosxcos(pi/4) - sinxsin(pi/4) ]

= cosx - sinx

[Matrix_]

hum il est trop tard?

oki je te détaille tu as une formule de trigo cos(a+b ) = cosacosb-sinasinb

Ici cos(x + pi/4) donc ton "x" joue le rôle du "a" et pi/4 le rôle du b

On a ainsi cos(x + pi/4)= [ cosxcos(pi/4) - sinxsin(pi/4) ]

or cos(pi/4)= V2/2 et sin(pi/4)= V2/2 (fais le cercle trigonométrique pour mieux voir si besoin) donc

[ cosxcos(pi/4) - sinxsin(pi/4) ] = (V2/2)cosx - (V2/2)sinx

Si on revient à l'expresion de départ c'est-à-dire V2cos(x + pi/4) on a donc en remplaçant par la chose trouvée précédemment

V2[(V2/2)cosx - (V2/2)sinx]

= 2/2cosx - 2/2sinx

= cosx - sinx

et là on est content

[Tubis]

merci beaucoup et ne t'inquietes pas il n'est pas trop tard.

maintenant je vois comment ta fait, c'est parceque en faite je savais pas comment tu pouvais passer de V2 [cosx.cos (pi / 4) - sinx. sin ( pi /4) ] à cosx - sinx

comme je l'ai déja dit :P merci encore

[Matrix_]

hum je viens de relire l'énoncé et pour la seconde question à propos de l'asymptote, tu peux calculer la limite de ln (√2 cos ( x + pi / 4 )) en (pi/4)

donc √2 cos ( x + pi / 4 ) tend vers 0 lorsque x tend vers pi/4 (car en remplaçant x par pi/4, tu obtiens cos(pi/2) qui est égal à 0) ensuite tu compose avec le ln ce qui donne lnX tend vers - lorque x tend vers 0.

On voit donc que en pi/4, la limite est - donc x=pi/4 est une asymptote verticale à C

[Tubis]

merci pour cette indication mais je l'avais déja remarqué je me suis dit pourquoi pas étudier la limite et j'ai pas eu tort, mais merci beaucoup quand meme.