Polynômes D’interpolation De Lagrange.

[anglieto]

1. Soit a, b, c, 3 réels deux à deux distincts, alfa, bêta, y, 3 réels donnés.

Montrer qu’il ne peut pas exister 2 polynômes P et Q distincts, de degré 2 ou plus, et vérifiant :

P ( a ) = Q ( a ) = alfa.

P ( b ) = Q ( b ) = bêta.

P ( c ) = Q ( c ) = y.

2. On considère les 3 polynômes :

L1 ( x ) = ( x-b )( x-c ) / ( a-b )( a-c )

L2 ( x ) = ( x-c )( x-a ) / ( b-c )( b-a )

L3 ( x ) = ( x-a )( x-b ) / ( c-a )( c-b )

a). Déterminer L1 ( a ), L1 ( b), L1 ( c ), L2 ( a ), L2 ( b ), L2 ( c ), L3 ( a ), L3 ( b ), L3 ( c ).

b). On pose P = alfaL1 + bêtaL2 + yL3.

Déterminer P ( a ), P ( b ), P ( c ), et vérifier que deg P£2.

3. énoncer un résultat général, établi dans les questions 1. et 2. ( le polynôme défini en 2.b) est le polynôme de Lagrange associé aux nombres a, b, c. la méthode se généralise à plus de 3 coefficients. )