Bonjour à tous,
voici l'énoncé de mon exercice:
Exercice 1 : (4 pts)
Le nombre de pannes journalières d’une machine est une variable aléatoire X dont la densité de probabilité est :
x
0
1
2
3
4
5
6 et +
P(x)
0,30
0,20
0,15
0,15
0,10
0,05
0,05
1. Quelle est la fonction de répartition de X ? En donner une représentation graphique.
2. Quelle est la probabilité que la machine ait plus de trois pannes ?
3. Calculer E(X) en assimilant « 6 et + » à la valeur moyenne de 7,5.
Et voici ce que j'ai répondu est-ce correct ?
1. Déterminons la fonction de répartition de X :
Soit une variable aléatoire X. La fonction de répartition P de X est la fonction définie par : P(x) = P(X≤x)
La fonction P est la fonction de répartition de la variable aléatoire X et P(xi), où xi E , est la probabilité de l’événement.
Les valeurs P sont décrites dans le tableau suivant :
Intervalles des valeurs de X
Valeurs de X vérifiant X≤x
Valeurs de xi
P(xi) = P(X≤xi)
aucune
aucune
0
0
xi≤0
P(X=0) = 0,30
0 ou 1
0<x≤1
P(X=0) + P(X=1) = 0,30 +0,20
= 0,50
0 ; 1 ; 2 ou 3
1<x≤3
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,30 +0,20 + 0,15x2
= 0,80
0 ;1 ;2 ; 3 ou 4
3<x≤4
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0,30 +0,20 + 0,15x2 + 0,10
= 0,90
0 ;1 ;2 ; 3 ; 4 ;5 ou 6et+
4<x≤6et+
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,30 +0,20 + 0,15x2 + 0,10 + 0,05x2
= 1
La fonction de répartition est définie par intervalle. C’est une fonction en escalier et elle est décroissante.
2. Déterminons quelle est la probabilité que la machine ait plus de trois pannes :
P(X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(PX=6et+)
= 0,15 + 0,10 + 0,05 + 0,05
= 0,35
La probabilité que la machine ait plus de trois pannes est de 0,35
(En pourcentage ou pas ??????????)
3. Calculer E(X) en assimilant « 6 et + » à la valeur moyenne de 7,5 :
E(X) = ∑pixi
= 0x0,30 + 1x0,20 + 2x0,15 + 3x0,15 + 4x0,10 + 5x0,05 + 7,5x0,05
= 0 x 0,2 x 0,3 x 0,45 x 0,4 x 0,25 x 0,375
= 1,975
En moyenne, la machine tombe environ 2 fois par jour en panne.
