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Les Triangles

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Définition/Propriété :
  • un triangle est un polygone à 3 côtés.
  • Il existe 4 types de triangle dont 3 types particuliers: quelconque (sans particularité), isocèle avec 2 côtés égaux, équilatéral avec 3 côtés égaux et rectangle avec un angle droit.
  • la somme des mesures des angles d'un triangle fait 180°.
  • Dans un triangle, la droite passant par les milieux de 2 côtés opposés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci. [list]

    LES MEDIANES

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    La droite AM est la médiane issue du sommet A. Elle coupe le côté opposé BC à son milieu au point M.

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    Sur ce dessin les trois médianes du triangle sont tracées. Elles se coupent au point O, appelé centre de gravité du triangle.

    LES HAUTEURS

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    La droite AH est la hauteur issue du sommet A, elle est perpendiculaire au côté opposé BC.

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    Les trois hauteurs du triangle se coupent au seul point H, appelé orthocentre du triangle.

    LES ANGLES

    Un angle droit mesure 90°
    Un angle plat est la somme de deux angles droits, mesure 180°.

    La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.


    On en déduit :

    [list]
  • si un triangle est rectangle en A, alors la somme des angles B et C est 90°.
  • si le triangle est équilatéral, alors les trois angles sont de même mesure : 60°
LES MEDIATRICES

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La droite M perpendiculaire à la droite BC et coupant la droite BC en son milieu est une médiatrice.

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Les 3 médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle, c'est à dire le cercle passant par les trois sommets du triangle.

LES BISSECTRICES

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La bissectrice d'un angle est la droite coupant celui-ci en deux angles égaux faisant chacun la moitié de l'angle initial.

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Les 3 bissectrices se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit du triangle, c'est à dire le cercle tangent aux trois côtés du triangle.

LE TRIANGLE ISOCELE


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  • Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues.
  • Les deux angles à la base d'un triangle isocèle ont la même mesure.
LE TRIANGLE EQUILATERAL

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  • Dans un triangle ABC équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues d'un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues.
  • Il vient que l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus.
  • Les angles d'un triangle équilatéral ont même mesure, c'est à dire 60°.
LE TRIANGLE RECTANGLE

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  • Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus grand du triangle, et la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse.
  • Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse, le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.
  • Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires, leur somme fait 90°.
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