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Trigonométrie : relations trigonométriques


La tangente comme quotient
On a pour toute mesure x (differente de Image IPB et de Image IPB) d'un angle : Image IPB


Démonstration
On a vu que

Image IPB Ainsi

Image IPB donc pour tout angle x différent de Image IPB et de Image IPB (car Image IPB) , on a : Image IPB

Il manque les angles obtus!!

On a vu que

Image IPB Ainsi

Image IPB donc pour tout angle x différent de Image IPB et de Image IPB (car Image IPB) , on a : Image IPB

Il manque les angles obtus!!





Exemple

Sachant que Image IPB etImage IPB , calculer une valeur approchée de Image IPB


Solution

Image IPB

Image IPB



Formule liant cosinus et sinus
On a pour toute mesure x d'un angle : Image IPB


Démonstration

[modifier] Méthode analytique
On a vu que

  • Image IPB
  • Image IPB
Ainsi

  • Image IPB
  • Image IPB
  • Image IPB
Le théorème de Pythagore stipulant que

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

On a AB2 + BC2 = AC2 et donc Image IPB

Ainsi

Image IPB

Elargissons, car en effet pour tout , cos2x > = 0 et sin2x > = 0

et... pour tout , cos2x + sin2x = 1





[modifier] Méthode trigonométrique
Image IPB Image IPB Le triangle trigonométrique montrant les rapports entre sinus et cosinus Sur le cercle trigonometrique ci contre , on peut utiliser Le théorème de Pythagore

Ce dernier stipulant que

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

Ainsi cela se traduit par :

AD2 + CD2 = AC2

Or, ici

  • AC = 1
  • Image IPB
  • Image IPB
Et ainsi

Image IPB

Elargissons, car en effet pour tout , Image IPB et Image IPB

et... pour tout , cos2x + sin2x = 1


Méthode analytique
On a vu que

  • Image IPB
  • Image IPB
Ainsi

  • Image IPB
  • Image IPB
  • Image IPB
Le théorème de Pythagore stipulant que

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

On a AB2 + BC2 = AC2 et donc Image IPB

Ainsi

Image IPB

Elargissons, car en effet pour tout , cos2x > = 0 et sin2x > = 0

et... pour tout , cos2x + sin2x = 1





Méthode trigonométrique
Image IPB
Le triangle trigonométrique montrant les rapports entre sinus et cosinus Sur le cercle trigonometrique ci contre , on peut utiliser Le théorème de Pythagore

Ce dernier stipulant que

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

Ainsi cela se traduit par :

AD2 + CD2 = AC2

Or, ici

  • AC = 1
  • Image IPB
  • Image IPB
Et ainsi

Image IPB

Elargissons, car en effet pour tout , Image IPB et Image IPB

et... pour tout , cos2x + sin2x = 1




Exemple: Calcul du sinus à partir du cosinus
Sachant que Image IPB , calculer une valeur exacte de sinx


Solution
On a la formule : Image IPB

donc : Image IPB

donc :Image IPB




Propriétés des arc associés
On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes.

Image IPB Image IPB Image IPB Image IPB Image IPB Image IPB Image IPB Image IPB Image IPB Image IPB



Formules de trigonométrie
Nous démontrerons en annexe 3 les formulaires ci-dessous sur les fonctions circulaires sin, cos et tan.

Soient a et b deux réels.




Formulaire 1 : addition
Image IPB


Formulaire 2 : duplication
Image IPB


Formulaire 3 : linéarisation (formules de Carnot)
Image IPB


Formulaire 4 : produit-somme
Image IPB <a name="Formulaire_5_:_somme-produit_.28formules_de_Simpson.29" id="Formulaire_5_:_somme-produit_.28formules_de_Simpson.29">


Formulaire 5 : somme-produit (formules de Simpson)
Image IPB

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