Ensemble : définitions

Ensembles

Définitions: ensemble et élément

Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.Soit $E$ un ensemble, quand $a$ est un élément de $E$ , nous disons que $a$ est dans $E$ ou que $a$ appartient à $E$ et nous écrivons $a \in E$ , ce qui se lit « $a$ appartient à $E$ ». Quand au contraire $a$ n'est pas élément de $E$ , nous disons que $a$ n'appartient pas à $E$ et nous écrivons $a ot\in E$ , ce qui se lit « $a$ n'appartient pas à $E$ ».

Définition/Notation: ensemble vide

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide $\left\{ ight\}$ ou plus souvent $mptyset$ .

Remarque: Retenons qu'une chose est un ensemble, si nouspouvons dire si un objet quelconque est ou n'est pas élément de cettechose; concernant l'ensemble vide nous pouvons dire qu' aucun objetn'est élément de cette chose.

Exemples d'ensembles

Les entiers naturels $0,1,2,3,...$ forment un ensemble qui se note $\mathbb{N}$ .
Les entiers relatifs $..., - 3, - 2, - 1,0,1,2,3,...$ forment un ensemble qui se note $\mathbb{Z}$ .
Les nombres rationnels (de la forme $p / q$ où $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ ) forment un ensemble noté $\mathbb{Q}$ .
Les points du plan forment un ensemble.

Définition d'un ensemble en extension et en compréhension

Un ensemble peut être défini en extension, c'est à dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est à dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est delister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini enextension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les élémentssont 1 et 2.

L' ordre des éléments ne revêt aucune importance; par exemple, {1,2} = {2,1}.
La répétition d' éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble; par exemple, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'élémentsest « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemblesuivis de points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiersnaturels se définit par : ℕ={0, 1, 2, 3, ...}. Les points de suspensionpeuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste deséléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l'ensemble {1, 3,5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5,...,21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entreaccolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple lanotation {entiers pairs} désigne l'ensemble de tous les entiersrelatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemblepar une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x / P(x)}. Par exemple, {x/xest un nombre réel} désigne l'ensemble des nombre réels ℝ. Cettenotation est appelée « notation de définition d'un ensemble encompréhension ». Quelques variantes de notations de définition d'unensemble en compréhension sont:

{x ∈ A / P(x)} désigne l'ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si ℤ est l'ensemble des entiers, alors {x ∈ ℤ / x est un entier pair} est l'ensemble de tous les entiers pairs.
{F(x) / x ∈ A} désigne l'ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l'ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x / x ∈ ℤ} est encore l'ensemble de tous les entiers pairs.
{F(x) / P(x)} est la forme la plusgénérale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétairede x / x est un chien} est l'ensemble de tous les propriétaires dechiens.

Définition: Égalité de deux ensembles

Deux ensembles $E$ et $F$ sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments et nous écrivons $E = F$ . Nous avons

$orall x, (x\in E \Leftrightarrow x\in F)$

Sous-ensemble, partie d'un ensemble

Inclusion

Définition

Soient $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. Nous disons que $E$ est inclus dans $F$ ou que $E$ est un sous-ensemble de $F$ ou encore que $E$ est une partie de $F$ ssi tout élément de $E$ est un élément de $F$ . Nous écrivons $E\subset F$ .Soit: $(E \subset F) \Leftrightarrow ( orall x \in E, x \in F)$

Notation

Nous notons $\mathcal P(E)$ , l'ensemble des parties de l'ensemble $E$ .

Exemple : $\mathbb R\subset \mathbb C$ .

Propositions

$( orall E, orall F, \left((E\subset F) \and (F\subset G) ight))\Rightarrow (E\subset G)$ .
$( orall E, orall F, \left((E\subset F) \and (F\subset E ight)))\Leftrightarrow (E=F)$ .