Développer et factoriser

I. Développer

Partie A : rappels

Développer, réduire, ordonner, identités remarquables….des mots que vous entendez depuis la classe de 4e ….
En effet, en 4e on apprend à développer, selon la règle suivante :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
a, b, c et d étant des nombres quelconques

Développer consiste à transformer un produit en une somme (ou une différence).

Exemple :

(2 + b)(3b + 4)
= 6b + 8 + 3b² + 4b cette opération consiste à réduire l’exp​ression
= 10b + 3b² + 8 cette opération consiste à ordonner l’exp​ression
= 3b² + 10b + 8

(5x + 7)(2x – 5)
= 10x² - 25x + 14x – 35 Observez bien le calcul et n’oubliez pas le signe « - »
= 10x² - 11x – 35


Entraînez-vous ! !

a. (x+3)(x+4) =
b. (-4x+3)(2x+1) =
c. 12 x-3 x + 23 =
d. (7x+2)(3x-2) =
e. 2x²-(-5x+2)(x-3) = attention aux signes!!
f. 2(3x-5)-(5x-3)(-2x+1) =
g. 4x-5(2x+1)+(3x-4)(7x+2) =
h. (3x-2)(-x+4)-(x+1)(-2x+5) =
i. 2x-3(x+2)(-4x+1) =
j. – 12 x + 3 – 3(x – 1) 12 x - 3 =


Partie B : les identités remarquables

Les trois identités remarquables sont basées sur la règle précédente, mais le but est de les apprendre par cœur pour éviter des calculs longs et pénibles…

Carré d’une somme

(a + b)² = (a + b)(a + b)
(a + b)² = a² + ab + ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Carrée d’une différence

(a – b)² = (a – b)(a – b)
(a – b)² = a² - ab – ba + b²

(a – b)² = a² - 2ab + b²

Produit d’une somme de deux termes par leur différence.

(a + b)(a – b) = a² - ab + ba – b²

(a + b)(a – b) = a² - b²

Exemples :





Entraînez-vous ! !

II. FACTORISER

Factoriser une exp​ression algébrique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs ; c’est en quelque sorte le contraire de développer.

1ère méthode : reconnaître un facteur commun

On utilise les règles suivantes :



Exemples :





Entraînez-vous ! !

a. 16x²-12x =
b. 4?x+6?x² =
c. 2(x+1)+3x(x+1) =
d. (2x-3)(x+2)-5(2x-3) =
e. (2x-3)(x+2)+(7x + 1)(2x - 3) =
f. (2x+1)²+(2x+1)(x+3) = g. (3x-5)²-4(3x-5) =
h. (3x + 7)(9x – 1) – 12 x + 7(3x + 7) =
i. (7x+3)(x-2)-(7x+3)² =
j. (4x+5)(2x-3)-3(4x+5)² =
k. (7x + 1)(5x – 1) – (4x + 3)(1 – 5x) =

2e méthode : reconnaître le développement d’une identité remarquable

Exemples :



Entraînez-vous ! !

a. x² - 64 =
b. x² - 14x + 49 =
c. 9x² + 12x + 4 =
d. 16x²-25 =
e. 1 – x²16 =
f. (x+1)²-9 =
g. (2x+3)²-(x+1)² =
h. (7x-3)² - (2x – 3)² =
i. 4x²-(x+5)² = j. 9(x+1)²-25(x-2)² =
k. 4x²+20x+25 =
l. x²-4x+4 =
m. 14 x² + x + 1 =
n. 9x²-12x+4 =
o. 9x² - 3x + 14 =
p. 81-36x+4x² =