Intégration (triple intégrale)

[Ch00Ch00]

Bonsoir à tous,

J'ai un exercice à faire et un exercice fait en classe dont j'aurais besoin quelque explications.

 

Exercice 1:

En classe, nous avons utilisé les coordonnées polaires: x=rcos(tetha) / y= rsin(tetha)

On obtient alors: x^2+y^2 = r^2 

On obtient: r est compris entre 0 et 2. Mais pourquoi entre 0 et 2 ? Qu'a t'on fait du z ? 

Exercice 2:

En utilisant les coordonées sphériques: x=cos(tetha).cos(phi) / y=sin(tetha).sin(phi) / z= rsin(phi) 

Pourquoi, tetha est compris entre pi/4 et pi/2 ? Aussi r est compris entre 0 et 2.

C'est seulement les bornes de l'intégration qui me pose de problème. 

A) Après avoir déterminer les bornes, je dois utiliser la matrice jacobienne ensuite, j'intégre avec les bornes trouvés.

 

Merci d'avance pour vos aide! 

 

 

[Invité]

Bonjour,

Dommage que vous n'ayez pas donné suite au post sur les torseurs.Je viens de voir le "like", mais bon...

I/ On doit intégrer f(x, y, z)=xyz à l'intérieur de la sphère d'équation x²+y²+z²=4.  Le point M(x,y,z) se projette dans le plan xOy en m(x,y).

m se promène à l'intérieur du disque délimité par le cercle d'équation x²+y²=4, soit r²=4 en polaires. On a donc 0 r sqrt(4)=2

Ensuite, on a z²=4-r².  et donc -sqrt( 4-r²) z sqrt(4-r²)

On commence à intégrer en z, et on voit que l'intégrale est nulle.

A+ pour la suite.

[Invité]

 

J'ai oublié de préciser dans ce qui précède (mais c'est évident) que le cercle d'équation r²=4 en coordonnées polaires dans le plan xOy est l'intersection de la sphère avec ce plan.

Ce système de coordonnées M(rcosθ , rsinθ, z) est usuellement désigné par "coordonnées cylindriques" (et non polaires, car,  précisément,  il ne faut pas oublier le z).

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II/ Il y a 2 systèmes usuels de coordonnées sphériques .

Le système M(r, longitude, colatitude) où r=OM, longitude=θ= angle (Ox, Om) et colatitude =φ=angle (Oz, OM)  (m=projeté de M sur le plan xOy)

Le système M(r, longitude, latitude) où r=OM, longitude=θ= angle (Ox, Om) et latitude =φ=angle (Om, OM)  (m=projeté de M sur le plan xOy)

Apparemment c'est ce second système qu'utilise votre professeur.

Les coordonnées de M sont alors x=r cosθ cosφ, y=r sinθ cosφ et z=r sinφ

Le domaine d'intégration (volume V). M est à l'intérieur de la sphère, donc 0 r 2 ; x, y et z sont positifs donc 0 φ pi/2, enfin 0 x y, donc m est dans la portion du plan xOy au-dessus de la première bissectrice (droite y=x) , donc ici Om entre cette droite et Oy , d'où pi/4 θ pi/2

Il faut effectivement calculer le jacobien . Vous devez trouver J= r² cosφ

Il n'y a plus qu'à faire les calculs. ( Pour vous vérifier, le premier volume est, sauf erreur,  égal au 1/16 du volume total de la sphère.

[Ch00Ch00]

Bonjour, 

meeci beaucoup pour vos explication. 

À propos des torseurs, on n’en l’avait pas encore fait, j’avais repris un exercice d’un ancien DS mais il se trouve qu’on ne l’a pas encore fait. 

Pour le volume j’ai trouvé 2pi/3 

merci, 

[Invité]

Oui, V=2pi/3

Il reste à s'occuper de  l'autre intégrale. Calcul sans réelle difficulté, le plus délicat avec les intégrales multiples étant parfois de  trouver les bornes correctes...