E-Bahut anne.bak Posté(e) le 7 février 2003 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 7 février 2003 Les questions auxquelles je bloque sont en gras EXERCICE 1 : Les suites U_n et V_n sont définies sr N par U_n+1 = (U_n+V_n)/2 et v_n+1 = (U_n+1 + V_n)/2 1) Démontrer q'il existe un réel k tel ke, qqsoit n, V_n+1 - U_n+1 = k(V_n - U_n). J'ai réussi et je trouve k = 1/4 Que pt-on en déduire pr la suite T_n = V_n - U_n ? Qu'elle est géométrique de raison 1/4 et de premier terme 1. 2) Prouver par récurrence que U_n < V_n. Pas de problème 3) Montrer que les suites U_n et V_n sont adjacentes. Je ne l'ai pas encore fait mais j'ai compris la technique du cours alors je pense ke ça devrait aller. 4) a/ Soit W_n = somme de p=0 à n de (V_p - U-p). Donner l'expression de W_n en fonction ded n. Je trouve W_n = ( 1-(1/4)^n+1) sur ( 1 -1/4) b/ Exprimer somme de p=0 à n-1 de (U_p+1 _ U_p) en fonction de W_n.J'ai calculé U_p+1 - U_p et j'arrive à 0,5*(V_p - U_p). Je vois bien ke ça ressemble à W_n mais je ne vois comment exprimer l'un en fonction de l'autre :!: :cry: c/ En déduire l'expression de U_n en fonction de n. d/ En déduire la limite de V_n J'ai mis ces 2 questions pour que vous ayez la fin de l'exo, pas pour avoir des réponses, j'ai surtout besoin d'aide pour la b !!!!! Exercice 2 : 1) a/ Etudier les variations et le signe de la fonction f définie sr ]0 ; + l'infini[ apr f(x) = x-1-ln(x). Je l'ai fait. b/ Même question avecc g (x) = ln(x) + 3/2 - 2x + (x²)/2. Je l'ai fait aussi c/ En déduire que pour tout réel a >0, a-a²/2 < ln(1+a) < a. :?: :?: :?: Je ne vois PAS DU TOUT le rapport avec les deeux questions précédentes !! Je suppose que l'étude de signe doit servir à quelque chose mais à quoi :?: Merci beaucoup :!: PS : le DM est à rendre lundi :cry: Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut anne.bak Posté(e) le 7 février 2003 Auteur E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 7 février 2003 En fait pour les suites adjacentes je n'arrive pas à montrer laquelle est croissante et laquelle est décroissante :cry: Merci de votre aide :P Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
philippe Posté(e) le 7 février 2003 Signaler Share Posté(e) le 7 février 2003 bonsoir! Ce que tu as fait me semble correct pour le moment. I4b voila ce que j'ai fait. La suite vient toute seule en principe. Pour l'ex II: une piste : pense à calculer f(1+a) et g(1+a)... et tu verras le mystérieux lien! :wink: Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
philippe Posté(e) le 7 février 2003 Signaler Share Posté(e) le 7 février 2003 suites adjacentes: il te faut: Un<Vn (du gâteau) Un-Vn ou bien Vn-Un tend vers 0 qd n tend vers inf (Tn devrait t'aider) et: Un croissante (calcule Un+1-Un par exemple, Tn devrait t'aider...) Vn décr. (une petite récurrence marche bien) Bonne soirée Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut anne.bak Posté(e) le 8 février 2003 Auteur E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 8 février 2003 merci beaucoup :!: Ca devrait aller mieux avec ça :wink: Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut anne.bak Posté(e) le 8 février 2003 Auteur E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 8 février 2003 J'ai compris pour la somme Mais pour les suites adjacentes je n'arrive pas à montrer que U_n est croissante. :cry: J'ai relu mon cours et il faut d'abrod définir le sens de variation de chaque suite. Ce qu me gêne, c'est qu'à chaque fois unne suite est définie en fonction de l'autre ! Et je ne vois pas comment on peut déduire l'expression de U_n en fonction de n. 8O Je n'ai pas encore réessayé l'exo 2. Merci beaucoup :wink: Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
philippe Posté(e) le 8 février 2003 Signaler Share Posté(e) le 8 février 2003 Tu ne peux pas utiliser (directement) une étude de fonction ici car Un est fonction de Vn. suites adjacentes: (Un) decr: Un+1-Un=(Un+Vn)/2-Un=... Utilise Tn. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut anne.bak Posté(e) le 8 février 2003 Auteur E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 8 février 2003 U_n+1 - U_n = T_n/2 ? Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut anne.bak Posté(e) le 8 février 2003 Auteur E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 8 février 2003 pour l'exo II, j'ai réussi à démontrer l'inégalité mais je coince à la question suivante !! 2)Soit n un entier naturel non nul. On pose Pn = (1+1/n²)*(1+2/n²)...*(1+n/n²) a/ Ecrire ln (Pn) sous la forme d'une somme. j'ai trouvé ln(Pn) = ln(1+1/n²) + ln (1+2/n²) etc b/ E utilisant la propriété du 1c (l'encadrement), écrire un encadrement de ln (1+k/n²), k étant un naturel variant de 1 à n. J'ai remplacé le a dans le premier encadrement par k/n² et j'arrive à (2kn²-k²)/2n^4 < ln (1+k/n²) < k/n². c/ Je l'ai mise en fichier joint parce que sinon c'est illisible. d/ En déduire la limite à l'infini de la suite ln(Pn)), puis celle de la suite Pn. je pense qu'il faut utiliser le théorème des gendarmes et l'encadrement de la question précédente. e/ Quelle est la limite à l'infini de chacun des facteurs qui figure dans le produit Pn ? Quelle est l'erreur que l'on est tenté de faire quant à la limite du produit Pn ? Là je comprends pas la question !! :roll: Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
philippe Posté(e) le 10 février 2003 Signaler Share Posté(e) le 10 février 2003 je ne sais pas si tu as reçu la petite note sur les sommes. je te disais qu'il y avait une erreur dans l'énoncé. (si si!) Alors la voici. N.B.: les relations que l'on obtient sont (si ma mémoire est bonne) : les relations de Newton. (Il en existe plusieurs démo.) si tu as le temps, tu peux chercher la formule générale (c'est un bon exo sur les sommes et coef du binôme) Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut anne.bak Posté(e) le 10 février 2003 Auteur E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 10 février 2003 merci !! mais pour le premier exercice, la question 4b, j'ai compris la démonstration mais on demande en fonction de W_n et non de W_n-1. Je me demande si ca va quand même :? Parce que je ne vois pas comment on peut retrouver U_n en fonction de n. C'est la seule question qu'il me reste :cry: Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut anne.bak Posté(e) le 10 février 2003 Auteur E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 10 février 2003 j'ai bien reçu les petites notes sur les sommes merci :wink: Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
philippe Posté(e) le 10 février 2003 Signaler Share Posté(e) le 10 février 2003 pour le I4b, il y a plus simple que ce que je t'ai donné (mais c'est bon qd même). tu as montré que: u_(p+1)-u_p=(v_p-u_p)/2 donc S_(n-1)=(1/2)sum(v_p-u_p,p=0..n-1) =(1/2)sum(T_p,p=0..n)-(1/2)T_n =(1/2)W_n-(1/2)T_n ou encore=(1/2)W_(n-1) on te demande en fonction de W_n donc tu n'as qu'à laisser la forme d'avant. (avec T_n...) I4c on regarde la somme S_(n-1)=u1-u0 +u2-u1 +... +u_n-u_(n-1) c'est télescopique; il reste u_n-u0 donc u_n-u_0=(1/2)W_(n-1) or W_(n-1)=(4/3)[1-(1/4)^n] après simplif., u_n=u_0+(2/3)[1-1/4^n] (vérif si ça colle) (je ne connais pas u0...) voila voila Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut anne.bak Posté(e) le 10 février 2003 Auteur E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 10 février 2003 merci beaucoup !!! Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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