DM de maths suites+log népérien + étude fonctions

[anne.bak]

Les questions auxquelles je bloque sont en gras

EXERCICE 1 :

Les suites U_n et V_n sont définies sr N par U_n+1 = (U_n+V_n)/2 et

v_n+1 = (U_n+1 + V_n)/2

1) Démontrer q'il existe un réel k tel ke, qqsoit n,

V_n+1 - U_n+1 = k(V_n - U_n). J'ai réussi et je trouve k = 1/4

Que pt-on en déduire pr la suite T_n = V_n - U_n ? Qu'elle est géométrique de raison 1/4 et de premier terme 1.

2) Prouver par récurrence que U_n < V_n. Pas de problème

3) Montrer que les suites U_n et V_n sont adjacentes. Je ne l'ai pas encore fait mais j'ai compris la technique du cours alors je pense ke ça devrait aller.

4) a/ Soit W_n = somme de p=0 à n de (V_p - U-p). Donner l'expression de W_n en fonction ded n. Je trouve W_n = ( 1-(1/4)^n+1) sur ( 1 -1/4)

b/ Exprimer somme de p=0 à n-1 de (U_p+1 _ U_p) en fonction de W_n.J'ai calculé U_p+1 - U_p et j'arrive à 0,5*(V_p - U_p). Je vois bien ke ça ressemble à W_n mais je ne vois comment exprimer l'un en fonction de l'autre :!: :cry:

c/ En déduire l'expression de U_n en fonction de n.

d/ En déduire la limite de V_n J'ai mis ces 2 questions pour que vous ayez la fin de l'exo, pas pour avoir des réponses, j'ai surtout besoin d'aide pour la b !!!!!

Exercice 2 :

1) a/ Etudier les variations et le signe de la fonction f définie sr ]0 ; + l'infini[ apr f(x) = x-1-ln(x).

Je l'ai fait.

b/ Même question avecc g (x) = ln(x) + 3/2 - 2x + (x²)/2. Je l'ai fait aussi

c/ En déduire que pour tout réel a >0, a-a²/2 < ln(1+a) < a. :?: :?: :?: Je ne vois PAS DU TOUT le rapport avec les deeux questions précédentes !! Je suppose que l'étude de signe doit servir à quelque chose mais à quoi :?:

Merci beaucoup :!:

PS : le DM est à rendre lundi :cry:

[anne.bak]

En fait pour les suites adjacentes je n'arrive pas à montrer laquelle est croissante et laquelle est décroissante :cry:

Merci de votre aide :P

[philippe]

bonsoir!

Ce que tu as fait me semble correct pour le moment.

I4b

voila ce que j'ai fait.

La suite vient toute seule en principe.

Pour l'ex II:

une piste : pense à calculer f(1+a) et g(1+a)...

et tu verras le mystérieux lien! :wink:

[philippe]

suites adjacentes:

il te faut:

Un<Vn (du gâteau)

Un-Vn ou bien Vn-Un tend vers 0 qd n tend vers inf (Tn devrait t'aider)

et:

Un croissante (calcule Un+1-Un par exemple, Tn devrait t'aider...)

Vn décr. (une petite récurrence marche bien)

Bonne soirée

[anne.bak]

merci beaucoup :!: Ca devrait aller mieux avec ça :wink:

[anne.bak]

J'ai compris pour la somme

Mais pour les suites adjacentes je n'arrive pas à montrer que U_n est croissante. :cry: J'ai relu mon cours et il faut d'abrod définir le sens de variation de chaque suite. Ce qu me gêne, c'est qu'à chaque fois unne suite est définie en fonction de l'autre !

Et je ne vois pas comment on peut déduire l'expression de U_n en fonction de n. 8O

Je n'ai pas encore réessayé l'exo 2.

Merci beaucoup :wink:

[philippe]

Tu ne peux pas utiliser (directement) une étude de fonction ici car Un est fonction de Vn.

suites adjacentes:

(Un) decr:

Un+1-Un=(Un+Vn)/2-Un=...

Utilise Tn.

[anne.bak]

U_n+1 - U_n = T_n/2 ?

[anne.bak]

pour l'exo II, j'ai réussi à démontrer l'inégalité mais je coince à la question suivante !!

2)Soit n un entier naturel non nul. On pose

Pn = (1+1/n²)*(1+2/n²)...*(1+n/n²)

a/ Ecrire ln (Pn) sous la forme d'une somme. j'ai trouvé

ln(Pn) = ln(1+1/n²) + ln (1+2/n²) etc

b/ E utilisant la propriété du 1c (l'encadrement), écrire un encadrement de ln (1+k/n²), k étant un naturel variant de 1 à n. J'ai remplacé le a dans le premier encadrement par k/n² et j'arrive à

(2kn²-k²)/2n^4 < ln (1+k/n²) < k/n².

c/ Je l'ai mise en fichier joint parce que sinon c'est illisible.

d/ En déduire la limite à l'infini de la suite ln(Pn)), puis celle de la suite Pn. je pense qu'il faut utiliser le théorème des gendarmes et l'encadrement de la question précédente.

e/ Quelle est la limite à l'infini de chacun des facteurs qui figure dans le produit Pn ? Quelle est l'erreur que l'on est tenté de faire quant à la limite du produit Pn ? Là je comprends pas la question !! :roll:

[philippe]

je ne sais pas si tu as reçu la petite note sur les sommes.

je te disais qu'il y avait une erreur dans l'énoncé. (si si!)

Alors la voici.

N.B.: les relations que l'on obtient sont (si ma mémoire est bonne) :

les relations de Newton.

(Il en existe plusieurs démo.)

si tu as le temps, tu peux chercher la formule générale

(c'est un bon exo sur les sommes et coef du binôme)

[anne.bak]

merci !! mais pour le premier exercice, la question 4b, j'ai compris la démonstration mais on demande en fonction de W_n et non de W_n-1. Je me demande si ca va quand même :?

Parce que je ne vois pas comment on peut retrouver U_n en fonction de n.

C'est la seule question qu'il me reste :cry:

[anne.bak]

j'ai bien reçu les petites notes sur les sommes merci :wink:

[philippe]

pour le I4b,

il y a plus simple que ce que je t'ai donné (mais c'est bon qd même).

tu as montré que:

u_(p+1)-u_p=(v_p-u_p)/2

donc S_(n-1)=(1/2)sum(v_p-u_p,p=0..n-1)

=(1/2)sum(T_p,p=0..n)-(1/2)T_n

=(1/2)W_n-(1/2)T_n

ou encore=(1/2)W_(n-1)

on te demande en fonction de W_n donc tu n'as qu'à laisser la forme d'avant. (avec T_n...)

I4c

on regarde la somme

S_(n-1)=u1-u0

+u2-u1

+...

+u_n-u_(n-1)

c'est télescopique; il reste u_n-u0

donc u_n-u_0=(1/2)W_(n-1)

or W_(n-1)=(4/3)[1-(1/4)^n]

après simplif.,

u_n=u_0+(2/3)[1-1/4^n]

(vérif si ça colle)

(je ne connais pas u0...)

voila voila

[anne.bak]

merci beaucoup !!!